Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(n^4-14n^3+71n^2-154n+120\)
\(=n^2\left(n^2-9n+20\right)-5n\left(n^2-9n+20\right)+6\left(n^2-9n+20\right)\)
\(=\left(n^2-5n+6\right)\left(n^2-9n+20\right)\)
\(=\left(n-2\right)\left(n-3\right)\left(n-4\right)\left(n-5\right)\)
Dễ nhận thấy tích trên là tích của 4 số nguyên liên tiếp (vì n thuộc N)
Trong 4 số nguyên liên tiếp sẽ có 1 số chia hết cho 3 \(\Rightarrow\left(n-2\right)\left(n-3\right)\left(n-4\right)\left(n-5\right)⋮3\)(1)
Trong 4 số nguyên liên tiếp sẽ có 1 số chia hết cho 2 và 1 số chia hết cho 4. (n-2)(n-3)(n-4)(n-5) là tích của 1 số chia 2,1 số chia hết cho 4 và 2 số khác thì chia hết cho 8 (2)
Từ (1);(2) kết hợp (3;8)=1 suy ra đpcm
Lời giải:
Đặt \(A=n^4+2n^3-n^2-2n\)
\(\Leftrightarrow A=(n+2)(n^3-n)=n(n+2)(n^2-1)\)
Ta cm \(A\vdots 3\)
+) Nếu \(n\equiv 0\pmod 3\Rightarrow A\vdots 3\)
+) Nếu \(n\equiv \pm 1\pmod 3\Rightarrow n^2\equiv 1\pmod 3\Leftrightarrow n^2-1\vdots 3\)
\(\Rightarrow A\vdots 3\)
Từ hai TH trên suy ra \(A\vdots 3(1)\)
Ta cm \(A\vdots 8\)
\(A=n(n+2)(n-1)(n+1)\)
+) Nếu \(n\equiv 0\pmod 4\Rightarrow\left\{\begin{matrix} n+2\equiv 0\pmod 2\\ n\equiv 0\pmod 4\end{matrix}\right.\Rightarrow n(n+2)\vdots 8\Rightarrow A\vdots 8\)
+) Nếu \(n\equiv 1\pmod {4}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} n-1\equiv 0\pmod 4\\ n+1\equiv 0\pmod 2\end{matrix}\right.\Rightarrow (n-1)(n+1)\vdots 8\Rightarrow A\vdots 8\)
+) Nếu \(n\equiv 2\pmod 4\Rightarrow\left\{\begin{matrix} n\equiv 0\pmod 2\\ n+2\equiv 2+2\equiv 0\pmod 4\end{matrix}\right.\Rightarrow n(n+2)\vdots 8\Rightarrow A\vdots 8\)
+) Nếu \(n\equiv 3\pmod 4\Rightarrow\left\{\begin{matrix} n-1\equiv 0\pmod 2\\ n+1\equiv 3+1\equiv 0\pmod 4\end{matrix}\right.\Rightarrow (n-1)(n+1)\vdots 8\Rightarrow A\vdots 8\)
Từ các TH trên suy ra \(A\vdots 8(2)\)
Từ \((1),(2),\text{UCLN(8,3)=1}\Rightarrow A\vdots 24\)
Ta có: \(n^4+2n^3-n^2-2n\)
\(=\left(n^4+2n^3\right)-\left(n^2+2n\right)\)
\(=n^3\left(n+2\right)-n\left(n+2\right)\)
\(=\left(n+2\right)\left(n^3-n\right)\)
=> \(n^4+2n^3-n^2-2n⋮24\)
Đặt : A = n4 + 2n3 - n2 -2n
Ta có : A = n4 + 2n3 - n2 -2n
A= n3.(n + 2) - n ( n + 2)
A=(n3 - n) .( n + 2)
A= n( n2 -1).( n+ 2)
A= (n - 1).n.( n +1).( n +2)
Do : (n - 1).n.( n +1).( n +2) là 4 STN liên tiếp
=> (n - 1).n.( n +1).( n +2) chia hết cho 2,3,4
Hay A= (n - 1).n.( n +1).( n +2) chia hết cho 24
ĐK : n∈Nn∈N. Gọi : A=n(n+1)(n+2)(n+3)A=n(n+1)(n+2)(n+3)
Với n = 1, ta có :
A=1.(1+1)(1+2)(1+3)=1.2.3.4=24⋮24A=1.(1+1)(1+2)(1+3)=1.2.3.4=24⋮24
Với n=k+1(k∈N∗)n=k+1(k∈N∗)
A=(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)A=(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
Đây là tích của 4 số tự nhiên tự nhiên liên tiếp nên có thể khẳng định rằng :
- 1 số ⋮2⋮2
- 1 số ⋮3⋮3
- 1 số ⋮4⋮4
mà (2,3,4)=1(2,3,4)=1
⇒n(n+1)(n+2)(n+3)⋮2.3.4=24⇒n(n+1)(n+2)(n+3)⋮2.3.4=24
Vậy n(n+1)(n+2)(n+3)⋮24n(n+1)(n+2)(n+3)⋮24 với mọi n∈N