Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(\sqrt[3]{2}=a\Leftrightarrow a^3=2\). Ta chứng minh \(\sqrt[3]{a-1}=\frac{a^2-a+1}{\sqrt[3]{9}}\)
Lập phương hai vế ta có :
\(a-1=\frac{\left(a^2-a+1\right)^3}{9}\Leftrightarrow9\left(a-1\right)\left(a+1\right)^3=\left(a+1\right)^3\left(a^2-a+1\right)^3\)
\(\Leftrightarrow9\left(a-1\right)\left(a^3+3a^2+3a+1\right)=\left(a^3+1\right)^3\)
\(\Leftrightarrow9\left(a-1\right)\left(3+3a^2+3a\right)=27\)
\(\Leftrightarrow3\left(a-1\right)\left(a^2+a+1\right)=3\)
\(\Leftrightarrow a^3-1=1\)
\(\Leftrightarrow a^3=2\)
Đẳng thức cuối đúng nên ta có điều phải chứng minh
a) Xét phương trình \(f'\left(x\right)=2x^2+2\left(\cos a-3\sin a\right)x-8\left(1+\cos2a\right)=0\)
Ta có \(\Delta'=\left(\cos a-3\sin a\right)^2+16\left(1+\cos a\right)=\left(\cos a-3\sin a\right)^2+32\cos^2a\ge0\) với mọi a
Nếu \(\Delta'=0\Leftrightarrow\cos a-3\sin a=\cos a=0\Leftrightarrow\sin a=\cos a\Rightarrow\sin^2a+\cos^2a=0\) (Vô lĩ)
Vậy \(\Delta'>0\Rightarrow f'\left(x\right)=0\) có 2 nghiệm \(x_1,x_2\) và hàm số có cực đại và cực tiểu
b) Theo Viet ta có \(x_1+x_2=3\sin a-\cos a;x_1x_2=-4\left(1+\cos2a\right)\)
\(x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=\left(3\sin a-\cos a\right)^2+8\left(1+\cos2a\right)\)
\(=9+8\cos^2a-6\sin a\cos a\)
\(=9+9\left(\sin^2a+\cos^2a\right)-\left(3\sin a+\cos a\right)^2\)
\(=18-\left(3\sin a+\cos a\right)^2\le18\)
a) Xét phương trình : \(f'\left(x\right)=2x^2+2\left(\cos a-3\sin a\right)x-8\left(1+\cos2a\right)=0\)
Ta có : \(\Delta'=\left(\cos a-3\sin a\right)^2+16\left(1+\cos2a\right)=\left(\cos a-3\sin a\right)^2+32\cos^2\), \(a\ge0\) với mọi a
Nếu \(\Delta'=0\Leftrightarrow\cos a-3\sin a=\cos a=0\Leftrightarrow\sin a=\cos a\Rightarrow\sin^2a+\cos^2a=0\) (Vô lí)
Vậy \(\Delta'>0\)
với mọi a \(\Rightarrow f'\left(x\right)=0\)
có 2 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) và hàm số có cực đại, cực tiểu
b) Theo Viet ta có \(x_1+x_2=3\sin a-\cos a\)
\(x_1x_2=-4\left(1+\cos2a\right)\)
\(x^2_1+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=\left(3\sin a-\cos a\right)^2+8\left(1+\cos2a\right)=9+8\cos^2a-6\sin a\cos a\)
\(=9+9\left(\sin^2a+\cos^2a\right)-\left(3\sin a+\cos a\right)^2=18-\left(3\sin a+\cos2a\right)\le18\)
a) ta có 2√5= = √20 ; 3√2 = = √ 18 => 2√5 > 3√2
=> <
b) 6√3 = = √108 ; 3√6 = = √54 => 6√3 > 3√6 => >
a) \(2\sqrt{5}=\sqrt{2^2.5}=\sqrt{20}\)
\(3\sqrt{2}=\sqrt{3^2.2}=\sqrt{18}\)
=> \(2\sqrt{5}>3\sqrt{2}\)
=> \(\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2\sqrt{5}}< \left(\dfrac{1}{3}\right)^{3\sqrt{2}}\)
(vì cơ số \(\dfrac{1}{3}< 1\))
b) Vì \(3< 6^2\)
=> \(3^{\dfrac{1}{6}}< \left(6^2\right)^{\dfrac{1}{6}}\)
=> \(\sqrt[6]{3}< 6^{\dfrac{1}{3}}\)
=> \(\sqrt[6]{3}< \sqrt[3]{6}\)
=> \(7^{\sqrt[6]{3}}< 7^{\sqrt[3]{6}}\)
Ta có:
7=3k+1\(\Rightarrow\)7\(^{n+1}\)=3k+1 với mọi n thuộc N
8=3k+2\(\Rightarrow\)8\(^{2n+1}\)=3k+2 với mọi n thuộc N
\(\Rightarrow\)7\(^{n+1}\)+8\(^{2n+1}\)=(3k+1)+(3k+2)=3k+3\(⋮\)3(đpcm)