K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
26 tháng 8 2015
Bài 1. Ta chứng minh \(A=10^{150}+5\cdot10^5+1\) không là số lập phương.
Bổ đề. Một số lập phương không âm bất kì chia cho 9 chỉ có thể dư là 0,1 hoặc 8.
Chứng minh. Xét \(x\) là số tự nhiên bất kì. Nếu \(x\) chia hết cho 3 thì \(x^3\) hiển nhiên chia hết cho 9 nên số dư chia cho 9 bằng 0.
Nếu \(x\) chia hết 3 dư là 1 thì \(x=3k+1\to x^3=\left(3k+1\right)^3=27k^3+27k^2+9k+1\) chia 9 có số dư là 1.
Nếu \(x\) chia hết 3 dư là 1 thì \(x=3k+2\to x^3=\left(3k+2\right)^3=27k^3+54k^2+18k+8\) chia 9 có số dư là 8.
Quay trở lại bài toán, ta thấy \(10\) chia 9 dư 1 nên \(A\) chia 9 dư là \(1+5+1=7\to\)\(A\) không thể là lập phương của số tự nhiên.
Bài 2. Ta chứng minh bài toán bằng quy nạp. Với n=****. Giả sử đúng đến n, thức là ta đã có \(1^3+2^3+\cdots+n^3=\left(1+2+\cdots+n\right)^2.\)
Khi đó \(1^3+2^3+\cdots+n^3+\left(n+1\right)^3=\left(1+2+\cdots+n\right)^2+\left(n+1\right)^3\)
\(=\frac{n^2\left(n+1\right)^2}{4}+\left(n+1\right)^3=\left(n+1\right)^2\cdot\frac{n^2+4n+4}{4}=\frac{\left(n+1\right)^2\left(n+2\right)^2}{4}.\)
Do đó ta có \(1^3+2^3+\cdots+\left(n+1\right)^3=\frac{\left(n+1\right)^2\left(n+2\right)^2}{4}=\left(1+2+\cdots+n+\left(n+1\right)\right)^2\)
KA
1
28 tháng 6 2021
`sqrta+1>sqrt{a+1}`
`<=>a+2sqrta+1>a+1`
`<=>2sqrta>0`
`<=>sqrta>0AAa>0`
`sqrt{a-1}<sqrta`
`<=>a-1<a`
`<=>-1<0` luôn đúng
`sqrt6-1>sqrt3-sqrt2`
`<=>sqrt6-sqrt3+sqrt2-1>0`
`<=>sqrt3(sqrt2-1)+sqrt2-1>0`
`<=>(sqrt2-1)(sqrt3+1)>0` luôn đúng
9 tháng 8 2017
2) Ta có:
\(\frac{1}{xy}+\frac{2}{x^2+y^2}=2\left(\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\right)\)
Áp dụng BĐT Schwarz:
\(\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x^2+y^2+2xy}=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\)
Mà x+y=1 nên suy ra:
\(\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\ge4\)
\(\Rightarrow2\left(\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\right)\ge8\)
=>đpcm.
Dấu ''='' xảy ra khi x=y=1/2
16 tháng 12 2016
a) Có: \(\left(a-1\right)^2\ge0,\forall a\)
\(\Leftrightarrow a^2-2a+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+2a+1\ge4a\)
\(\Leftrightarrow\left(a+1\right)^2\ge4a\)
=>đpcm
b) Áp dụng bđt trên ta có:
\(\left(a+1\right)^2\ge4a\) (1)
\(\left(b+1\right)^2\ge4b\) (2)
\(\left(c+1\right)^2\ge4c\) (3)
Nhân vế vs vế (1) ; (2);(3) ta đc:
\(\left(a+1\right)^2\left(b+1\right)^2\left(c+1\right)^2\ge4a\cdot4b\cdot4c=64abc=64\)
\(\Rightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge8\)
14 tháng 4 2017
a)
(a+1)2>=4a
<=> a2 +2a+1>=4a
<=>a2 -2a+1>=0
<=>(a-1)2>=0 với mọi a
Mà các phép biến đổi trên tương đương
=> đpcm
C
22 tháng 9 2019
Áp dụng BĐT ở câu a)
\(\left(a+1\right)^2\ge4a\Leftrightarrow\sqrt{\left(a+1\right)^2}\ge\sqrt{4a}\)
Mà a dương nên \(BĐT\Leftrightarrow a+1\ge2\sqrt{a}\)
Chứng minh tương tự: \(b+1\ge2\sqrt{b}\)
\(c+1\ge2\sqrt{c}\)
\(\Rightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge8\sqrt{abc}=8\)(Vì abc = 1)
QH
2 tháng 8 2015
a) (a-1)^2 >= 0 <=> a^2 - 2a + 1 >= 0 <=> a^2 + 2a + 1 > 4a <=> (a+1)^2 >= 4a
b) Áp dụng bđt trên: \(\left(a+1\right)^2\ge4a\Leftrightarrow\sqrt{\left(a+1\right)^2}\ge2\sqrt{a}\)
mà \(\sqrt{\left(a+1\right)^2}=\left|a+1\right|\) Do a > 0 nên a+1>0. Vậy |a+1| = a + 1
Khi đó: a+1 >= 2 căn a
Tương tự ta có b+1 >= 2 căn b và c+1 >= 2 căn c
=> (a+b)(b+a)(c+1) >= 8 căn abc = 8
7 tháng 12 2018
9. a) Xét hiệu : (a + 1)\(^2\) – 4a = a\(^2\) + 2a + 1 – 4a = a\(^2\)– 2a + 1 = (a – 1)\(^2\) ≥ 0.
dễ thế chỉ cần giơ 1 ngón tay ra cộng thêm 1 ngón thành 2 ngón vậy 1+1=2
Vì 2 - 1=1