Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(S=10x^2+10y^2+z^2=2x^2+2y^2+8x^2+\dfrac{z^2}{2}+8y^2+\dfrac{z^2}{2}\)
\(\Rightarrow S\ge2\sqrt{2x^2.2y^2}+2\sqrt{8x^2.\dfrac{z^2}{2}}+2\sqrt{8y^2.\dfrac{z^2}{2}}=4xy+4xz+4yz\ge4\)
\(\Rightarrow S_{min}=4\) khi \(x=y=\dfrac{z}{4}=\dfrac{1}{3}\)
Nhìn bài của chú là chứng cả mắt, và chú cũng vậy? Thế giới của chú thật nghèo nàn.
Ta có:
\(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\) \(2\left(x^2+y^2+z^2\right)-2\left(xy+yz+xz\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\) \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\) (với mọi \(x,y,z\in R\) )
Do đó, \(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)\le x^2+y^2+z^2+2\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
Hay nói cách khác, \(\left(x+y+z\right)^2\le3\left(x^2+y^2+z^2\right)=9\)
\(\Rightarrow\) \(-3\le x+y+z\le3\)
Khi đó, \(A\le3+27=30\)
Dấu \("="\) xảy ra khi và chỉ khi \(\hept{\begin{cases}x=y=z\\x^2+y^2+z^2=3\end{cases}\Leftrightarrow}\) \(x=y=z=1\)
Vậy, \(A_{max}=30\) khi \(x=y=z=1\)
from giả thiết => x+y+z=xyz
biến đổi như sau:\(\dfrac{x}{\sqrt{yz\left(1+x^2\right)}}=\dfrac{x}{\sqrt{yz+x^2yz}}=\dfrac{x}{\sqrt{yz+x\left(x+y+z\right)}}=\dfrac{x}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\)
=\(\sqrt{\dfrac{x^2}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x}{x+y}+\dfrac{x}{x+z}\right)\)
\(\left\{{}\begin{matrix}3x^2+xz-yz+y^2=2\left(1\right)\\y^2+xy-yz+z^2=0\left(2\right)\\x^2-xy-xz-z^2=2\left(3\right)\end{matrix}\right.\)
Lấy (2) cộng (3) ta được
\(x^2+y^2-yz-zx=2\) (4)
Lấy (1) - (4) ta được
\(2x\left(x+z\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-z\end{matrix}\right.\)
Xét 2 TH rồi thay vào tìm được y và z
1. \(\left\{{}\begin{matrix}6xy=5\left(x+y\right)\\3yz=2\left(y+z\right)\\7zx=10\left(z+x\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x+y}{xy}=\dfrac{6}{5}\\\dfrac{y+z}{yz}=\dfrac{3}{2}\\\dfrac{z+x}{zx}=\dfrac{7}{10}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{6}{5}\\\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{3}{2}\\\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{x}=\dfrac{7}{10}\end{matrix}\right.\)
Đến đây thì dễ rồi nhé
*Tìm min:
Ta có: \(F-\left(xy+yz+zx\right)=\frac{3}{4}\left(x-y\right)^2+\frac{1}{4}\left(x+y-2z\right)^2\ge0\)
Do đó: \(F\ge xy+yz+zx=11\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\sqrt{\frac{11}{3}}\)
*Tìm max: Chưa nghĩ ra.