Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Cách 1:Ta có: \(2\left(1+a^2\right)\ge\left(1+a\right)^2\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\left(1+a\right)^2}\ge\frac{1}{\left[2\left(1+a^2\right)\right]}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\left(1+x\right)^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{1}{\left[2\left(1+x^2\right)\right]}+\frac{1}{\left[2\left(1+y^2\right)\right]}\)
mà: \(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}=\frac{2+x^2+y^2}{1+x^2y^2+x^2+y^2}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}=\frac{\left[2.\left(1+xy\right)+\left(x-y\right)^2\right]}{\left(1+xy\right)^2+\left(x-y\right)^2}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge2.\frac{1+xy}{\left(1+xy\right)^2}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\left[2\left(1+x^2\right)\right]}+\frac{1}{\left[2\left(1+y^2\right)\right]}\ge\frac{1}{1+xy}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\left(1+x\right)^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{1}{1+xy}\)
\(x-y=6\Rightarrow\left(x-y\right)^2=36\)
\(\Rightarrow x^2-2xy+y^2=36\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2.30=36\)
\(\Rightarrow x^2+y^2=96\)
Ta có : \(x^2+2xy+y^2=96+60=156\Rightarrow\left(x+y\right)^2=156\)
\(\Rightarrow x+y=\sqrt{156}=2\sqrt{39}\)
Ta có : \(x^2-y^2=\left(x-y\right)\left(x+y\right)\)
Tự thế vào nha
a) Dùng hằng đẳng thức: (x+y)2 - (x-y)2 = 4xy (1)
Thay x - y = 6 và xy = 30 vào (1), ta được:
\(\left(x+y\right)^2-6^2=4.30\) \(\Rightarrow\left(x+y\right)^2-36=120\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2=120+36=156\) \(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x+y=2\sqrt{39}\\x+y=-2\sqrt{39}\end{cases}}\)
Vì x>y>0 nên \(x+y=2\sqrt{39}\)
Suy ra: \(x^2-y^2=\left(x+y\right)\left(x-y\right)=2\sqrt{39}.6=12\sqrt{39}\)
b) Ta có: \(x^4+y^4=x^4-2x^2y^2+y^4+2x^2y^2=\left(x^2-y^2\right)^2+\left(\sqrt{2}xy\right)^2\) (2)
Thay \(x^2-y^2=12\sqrt{39}\)(câu a) và \(xy=30\) vào (2), ta được:
\(x^4+y^4=\left(12\sqrt{39}\right)^2+\left(\sqrt{2}.30\right)^2=7416\)
Đề của bạn làm sao ý!! MÌNH KHÔNG CHẮC LÀM ĐÚNG KHÔNG NỮA NHƯNG MONG BẠN NHA.
\(\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{1}{1+y^2}\ge\dfrac{2}{1+xy}\)
⇔ \(\left(\dfrac{1}{1+x^2}-\dfrac{1}{1+xy}\right)+\left(\dfrac{1}{1+y^2}-\dfrac{1}{1+xy}\right)\ge0\)
⇔ \(\left(\dfrac{1+xy-\left(1+x^2\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}\right)+\left(\dfrac{1+xy-\left(1+y^2\right)}{\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\right)\ge0\)
⇔ \(\left(\dfrac{1+xy-1-x^2}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}\right)+\left(\dfrac{1+xy-1-y^2}{\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\right)\ge0\)
⇔ \(\dfrac{-x\left(x-y\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}+\dfrac{-y\left(y-x\right)}{\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)
⇔ \(\dfrac{-x\left(x-y\right)\left(1+y^2\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}+\dfrac{y\left(x-y\right)\left(1+x^2\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)
=> -x(x-y)(1+y2)+y(x-y)(1+x2) ≥ 0
⇔ (x-y)[-x(1+y2)+y(1+x2)]≥0
⇔ (x-y)(-x-xy2+y+x2y) ≥0
⇔ (x-y)[-(x-y)+(x2y-y2x)] ≥ 0
⇔ (x-y)[-(x-y)+xy(x-y) ]≥ 0
⇔ (x-y)(x-y)(xy-1)≥ 0
⇔ (x-y)2 (xy-1) ≥0 (luôn đúng ∀ xy ≥ 1)
=> đpcm
bạn pải giả sử trước chứ nếu ntn thì người chấm hỏi ai cho lôi phần chứng minh ra làm phần mục đề
Áp dụng BĐT Cosi cho 3 số dương x,y,z ta có:
\(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\Leftrightarrow\frac{x+y+z}{3}\ge\sqrt[3]{xyz}\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z
\(VT=\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{x^2+y^2}{x^2y^2}=\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{\left(x-y\right)^2+2xy}{x^2y^2}\)
\(VT=\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{\left(x-y\right)^2}{x^2y^2}+\dfrac{2}{xy}\ge2\sqrt{\dfrac{\left(x-y\right)^2}{\left(x-y\right)^2x^2y^2}}+\dfrac{2}{xy}=\dfrac{2}{\left|xy\right|}+\dfrac{2}{xy}\ge\dfrac{2}{xy}+\dfrac{2}{xy}=\dfrac{4}{xy}\)
2.
\(4n^3+n+3=4n^3+2n^2+2n-2n^2-n-1+4=2n\left(2n^2+n+1\right)-\left(2n^2+n+1\right)+4\)-Để \(\left(4n^3+n+3\right)⋮\left(2n^2+n+1\right)\) thì \(4⋮\left(2n^2+n+1\right)\)
\(\Leftrightarrow2n^2+n+1\in\left\{1;-1;2;-2;4;-4\right\}\) (do n là số nguyên)
*\(2n^2+n+1=1\Leftrightarrow n\left(2n+1\right)=0\Leftrightarrow n=0\) (loại) hay \(n=\dfrac{-1}{2}\) (loại)
*\(2n^2+n+1=-1\Leftrightarrow2n^2+n+2=0\) (phương trình vô nghiệm)
\(2n^2+n+1=2\Leftrightarrow2n^2+n-1=0\Leftrightarrow n^2+n+n^2-1=0\Leftrightarrow n\left(n+1\right)+\left(n+1\right)\left(n-1\right)=0\Leftrightarrow\left(n+1\right)\left(2n-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow n=-1\) (loại) hay \(n=\dfrac{1}{2}\) (loại)
\(2n^2+n+1=-2\Leftrightarrow2n^2+n+3=0\) (phương trình vô nghiệm)
\(2n^2+n+1=4\Leftrightarrow2n^2+n-3=0\Leftrightarrow2n^2-2n+3n-3=0\Leftrightarrow2n\left(n-1\right)+3\left(n-1\right)=0\Leftrightarrow\left(n-1\right)\left(2n+3\right)=0\)\(\Leftrightarrow n=1\left(nhận\right)\) hay \(n=\dfrac{-3}{2}\left(loại\right)\)
-Vậy \(n=1\)
1. \(x^2+y^2=z^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-z^2=0\)
\(\Rightarrow\left(x-z\right)\left(x+z\right)+y^2=0\)
-TH1: y lẻ \(\Rightarrow x-z;x+z\) đều lẻ.
\(x+3z-y=x+z-y+2x\) chia hết cho 2. \(\Rightarrow\)Hợp số.
-TH2: y chẵn \(\Rightarrow\)1 trong hai biểu thức \(x-z;x+z\) chia hết cho 2.
*Xét \(\left(x-z\right)⋮2\):
\(x+3z-y=x-z+4z-y\) chia hết cho 2. \(\Rightarrow\)Hợp số.
*Xét \(\left(x+z\right)⋮2\):
\(x+3z-y=x+z+2z-y\) chia hết cho 2 \(\Rightarrow\)Hợp số.
Giả sử điều cần c/m là đúng
Ta có : \(x^2+y^2-xy\ge x+y-1\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2-2xy\ge2x+2y-2\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2-2xy-2x-2y+2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(x^2-2x+1\right)+\left(y^2-2y+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2\ge0\) ( điều này luôn đúng )
\(\Rightarrow\) Điều giả sử là đúng
\(\Rightarrow x^2+y^2-xy\ge x+y-1\left(đpcm\right)\)
Giả sử đpcm đúng, ta có
\(x^2+y^2+1\ge xy+x+y\)
\(x^2+x^2+y^2+y^2+2\ge2xy+2x+2y\)
\(\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(x^2-2x+1\right)+\left(y^2-2y+1\right)\ge0\)
\(\left(x-y\right)^2+\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2\ge0\)(Luôn đúng)
Vậy ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y=1
\(x^2+y^2+1\ge xy+x+y\)
<=>\(2\left(x^2+y^2+1\right)\ge2\left(xy+x+y\right)\)
<=>\(2x^2+2y^2+2\ge2xy+2x+2y\)
<=>\(2x^2+2y^2+2-2xy-2x-2y\ge0\)
<=>\(\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(x^2-2x+1\right)+\left(y^2-2y+1\right)\ge0\)
<=>\(\left(x-y\right)^2+\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-y=0\\x-1=0\\y-1=0\end{cases}\Leftrightarrow x=y=1}\)
Vậy...