Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng bất đẳng thức Cosi, ta có : \(\sqrt{y-1}=\sqrt{\left(y-1\right).1}\le\sqrt{\frac{y^2}{4}}=\frac{y}{2}\)\(\Rightarrow x\sqrt{y-1}\le\frac{xy}{2}\)(1)
Tương tự ta có : \(y\sqrt{x-1}\le\frac{xy}{2}\)(2)
Cộng (1) và (2) theo vế ta được : \(x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1}\le xy\)(đpcm)
\(x^2+y^2+1\ge xy+x+y\)
<=>\(2\left(x^2+y^2+1\right)\ge2\left(xy+x+y\right)\)
<=>\(2x^2+2y^2+2\ge2xy+2x+2y\)
<=>\(2x^2+2y^2+2-2xy-2x-2y\ge0\)
<=>\(\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(x^2-2x+1\right)+\left(y^2-2y+1\right)\ge0\)
<=>\(\left(x-y\right)^2+\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-y=0\\x-1=0\\y-1=0\end{cases}\Leftrightarrow x=y=1}\)
Vậy...
\(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2\\ \Leftrightarrow xy+yz+xz=0\\ \Leftrightarrow\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=0\)
Đặt
\(\dfrac{1}{x}=a;\dfrac{1}{y}=b;\dfrac{1}{z}=c\\ vìa+b+c=0\\ \Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\\ \Rightarrow\left(\dfrac{1}{x}\right)^3+\left(\dfrac{1}{y}\right)^3+\left(\dfrac{1}{z}\right)^3=\dfrac{3}{xyz}\)
a^3+b^3+c^3=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)+3abc. Cm cái này r ms đc áp dụng
x²y + xy² - x - y
= (x²y + xy²) - (x + y)
= xy(x + y) - (x + y)
= (x + y)(xy - 1)
Cách 1:Ta có: \(2\left(1+a^2\right)\ge\left(1+a\right)^2\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\left(1+a\right)^2}\ge\frac{1}{\left[2\left(1+a^2\right)\right]}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\left(1+x\right)^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{1}{\left[2\left(1+x^2\right)\right]}+\frac{1}{\left[2\left(1+y^2\right)\right]}\)
mà: \(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}=\frac{2+x^2+y^2}{1+x^2y^2+x^2+y^2}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}=\frac{\left[2.\left(1+xy\right)+\left(x-y\right)^2\right]}{\left(1+xy\right)^2+\left(x-y\right)^2}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge2.\frac{1+xy}{\left(1+xy\right)^2}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\left[2\left(1+x^2\right)\right]}+\frac{1}{\left[2\left(1+y^2\right)\right]}\ge\frac{1}{1+xy}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\left(1+x\right)^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{1}{1+xy}\)
Nhưng hình như đề fai là 2/1+xy thì fai