Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 1:
Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=t\Rightarrow a=bt; c=dt\). Khi đó:
a)
\(\frac{a^2}{a^2+b^2}=\frac{(bt)^2}{(bt)^2+b^2}=\frac{b^2t^2}{b^2(t^2+1)}=\frac{t^2}{t^2+1}(1)\)
\(\frac{c^2}{c^2+d^2}=\frac{(dt)^2}{(dt)^2+d^2}=\frac{d^2t^2}{d^2(t^2+1)}=\frac{t^2}{t^2+1}(2)\)
Từ $(1);(2)$ suy ra đpcm.
b)
\(\left(\frac{a+c}{b+d}\right)^2=\left(\frac{bt+dt}{b+d}\right)^2=\left(\frac{t(b+d)}{b+d}\right)^2=t^2(3)\)
\(\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}=\frac{(bt)^2+(dt)^2}{b^2+d^2}=\frac{t^2(b^2+d^2)}{b^2+d^2}=t^2(4)\)
Từ $(3);(4)\Rightarrow \left(\frac{a+c}{b+d}\right)^2=\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}$ (đpcm)
Bài 2:
Từ $a^2=bc\Rightarrow \frac{a}{c}=\frac{b}{a}$
Đặt $\frac{a}{c}=\frac{b}{a}=t\Rightarrow a=ct; b=at$. Khi đó:
a)
$\frac{a^2+c^2}{b^2+a^2}=\frac{(ct)^2+c^2}{(at)^2+a^2}=\frac{c^2(t^2+1)}{a^2(t^2+1)}=\frac{c^2}{a^2}=(\frac{c}{a})^2=\frac{1}{t^2}(1)$
Và:
$\frac{c}{b}=\frac{a}{tb}=\frac{a}{t.at}=\frac{1}{t^2}(2)$
Từ $(1);(2)$ suy ra đpcm.
b)
$\left(\frac{c+2019a}{a+2019b}\right)^2=\left(\frac{c+2019a}{ct+2019at}\right)^2=\left(\frac{c+2019a}{t(c+2019a)}\right)^2=\frac{1}{t^2}(3)$
Từ $(2);(3)$ suy ra đpcm.
Mình chỉ làm bài 1a, và bài 3 thôi nhé,còn lại là bạn tự làm nhé
Bài 1:
a, Ta có : \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}\)
\(\Rightarrow\left[\frac{a}{b}\right]^2=\left[\frac{c}{d}\right]^2=\left[\frac{a+c}{b+d}\right]^2\Rightarrow\frac{a^2}{b^2}=\frac{c^2}{d^2}=\frac{(a+c)^2}{(b+d)^2}\Rightarrow\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}=\frac{(a+c)^2}{(b+d)^2}\)
Bài 3 : Sửa đề : Cho \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}\)
CM : a = b = c
Cách 1 : Ta có : \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}=\frac{a+b+c}{b+c+a}=1\)
vì \(a+b+c\ne0\)
\(\frac{a}{b}=1\Rightarrow a=b;\frac{b}{c}=1\Rightarrow b=c\)
Do đó : \(a=b=c\).
Cách 2 : Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}=m\), ta có : \(a=bm,b=cm,c=am\)
Do đó : \(a=bm=m(mc)=m\left[m(ma)\right]\)
\(\Rightarrow a=m^3a\Rightarrow m^3=1(a\ne0)\Rightarrow m=1\)
\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}=1\Rightarrow a=b=c\)
Cách 3 : \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}\Rightarrow\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{c}\cdot\frac{c}{a}=\left[\frac{a}{b}\right]^3\Rightarrow1=\left[\frac{a}{b}\right]^3\Rightarrow\frac{a}{b}=1\)
Ta có : \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}=1\Rightarrow a=b=c\)
áp dụng phương pháp đặt k đó bạn . có ở trong sách giáo khoa bài hai tỉ số bằng nhau đó
ta có a/b = c/d = k suy ra a=bk, c=dk
suy ra a^2 +b^2 / c^2 + d^2 = (bk)^2 +b^2/(dk)^2 -d^2 =..... bạn rút ra tối giản sẽ được k^2+1/K^2-1(1)
bạn thế vào phân số còn lại rồi rút gọn thành k^2+1/ k^2-1(2)
từ 1 và 2 suy ra .....
câu b tương tự
1) Ta có: \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{c}+1=\frac{b}{d}+1\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+c}{c}=\frac{b+d}{d}\)(đpcm)
2) Để \(\frac{2a+3b}{2a-3b}=\frac{2c+3d}{2c-3d}\) thì \(\frac{2a+3b}{2c+3d}=\frac{2a-3b}{2c-3d}\)
\(\Leftrightarrow\frac{2a}{2c}=\frac{3b}{3d}=\frac{2a}{2c}=\frac{3b}{3d}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\)
hay \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)(đpcm)
3) Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=bk\\c=dk\end{matrix}\right.\)
Ta có: \(\frac{ab}{cd}=\frac{bk\cdot b}{dk\cdot d}=\frac{b^2k}{d^2k}=\frac{b^2}{d^2}\)(1)
Ta có: \(\frac{a^2-b^2}{c^2-d^2}\)
\(=\frac{k^2\cdot b^2-b^2}{k^2\cdot d^2-d^2}=\frac{b^2\left(k^2-1\right)}{d^2\left(k^2-1\right)}=\frac{b^2}{d^2}\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{ab}{cd}=\frac{a^2-b^2}{c^2-d^2}\)
4) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}a=bk\\c=dk\end{matrix}\right.\)
nên \(\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\frac{b^2\cdot k^2+b^2}{d^2\cdot k^2+d^2}=\frac{b^2\left(k^2+1\right)}{d^2\left(k^2+1\right)}=\frac{b^2}{d^2}\)(3)
Ta có: \(\left(\frac{a+b}{c+d}\right)^2\)
\(=\left(\frac{bk+b}{dk+d}\right)^2\)
\(=\left(\frac{b\left(k+1\right)}{d\left(k+1\right)}\right)^2\)
\(=\left(\frac{b}{d}\right)^2=\frac{b^2}{d^2}\)(4)
Từ (3) và (4) suy ra \(\left(\frac{a+b}{c+d}\right)^2=\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}\)
a) \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\Rightarrow\frac{7a^2}{7c^2}=\frac{3b^2}{3d^2}=\frac{3ab}{3cd}=\frac{11a^2}{11c^2}=\frac{5b^2}{5d^2}\)
áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{7a^2}{7c^2}=\frac{3b^2}{3d^2}=\frac{3ab}{3cd}=\frac{11a^2}{11c^2}=\frac{5b^2}{5d^2}=\frac{7a^2+3ab}{7b^2+3cd}=\frac{11a^2-5b^2}{11c^2-5d^2}\)
\(\Rightarrow\frac{7a^2+3ab}{11a^2-5b^2}=\frac{7c^2+3cd}{11c^2-5d^2}\)
b) \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\Rightarrow\frac{a^4}{c^4}=\frac{b^4}{d^4}\)
áp dụng t.c dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=\frac{a+b}{c+d}\Rightarrow\frac{a^4}{c^4}=\frac{b^4}{d^4}=\left(\frac{a+b}{c+d}\right)^4\)(1)
\(\frac{a^4}{c^4}=\frac{b^4}{d^4}=\frac{a^4+b^4}{c^4+d^4}\)(2)
từ (1) và (2) => đpcm
c) áp dụng t.c dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}\Rightarrow\frac{a^2}{b^2}=\left(\frac{a+c}{b+d}\right)^2\)(1)
\(\frac{a^2}{b^2}=\frac{a}{b}\cdot\frac{a}{b}=\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}\)(2)
từ (1) và (2) => đpcm
Xin được phép sửa đề =) Đề ban đầu sai òi!
a) Chứng minh rằng \(\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\frac{\left(a+b\right)^2}{\left(c+d\right)^2}\)
Ta có: \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\). Theo t/c dãy tỉ số bằng nhau,ta có:
\(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=\frac{a+b}{c+d}\Rightarrow\frac{a^2}{c^2}=\frac{b^2}{d^2}=\frac{\left(a+b\right)^2}{\left(c+d\right)^2}\)(1). Mặt khác,áp dụng dãy tỉ số bằng nhau lần nữa,ta cũng có:
\(\frac{a^2}{c^2}=\frac{b^2}{d^2}=\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}\) (2).Từ (1) và (2) ta có: \(\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\frac{\left(a+b\right)^2}{\left(c+d\right)^2}^{\left(đpcm\right)}\)
b) Ta có: \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=\frac{a+b}{c+d}=\frac{a-b}{c-d}\)
\(\Rightarrow\frac{a^4}{c^4}=\frac{b^4}{d^4}=\left(\frac{a+b}{c+d}\right)^4=\left(\frac{a-b}{c-d}\right)^4\)(1). Mặt khác,theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta cũng có:
\(\frac{a^4}{c^4}=\frac{b^4}{d^4}=\frac{a^4+b^4}{c^4+d^4}\) (2). Từ (1) và (2) ta có: \(\left(\frac{a-b}{c-d}\right)^4=\frac{a^4+b^4}{c^4+d^4}^{\left(đpcm\right)}\)
Đang rỗi,ngồi giải lại bài này theo cách khác cho vui
Giải
a) CMR: \(\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\frac{\left(a+b\right)^2}{\left(c+d\right)^2}\)
Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=kb\\c=kd\end{cases}}\)
Ta có: \(\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\frac{\left(kb\right)^2+b^2}{\left(kd\right)^2+d^2}=\frac{k^2b^2+b^2}{k^2d^2+d^2}=\frac{b^2\left(k^2+1\right)}{d^2\left(k^2+1\right)}=\frac{b^2}{d^2}\) (1)
Lại có: \(\frac{\left(a+b\right)^2}{\left(c+d\right)^2}=\frac{\left(kb+b\right)^2}{\left(kd+d\right)^2}=\frac{\left[b\left(k+1\right)\right]^2}{\left[d\left(k+1\right)\right]^2}=\frac{b^2}{d^2}\) (2)
Từ (1) và (2) ta có: \(\frac{a^2+b^2}{a^2+d^2}=\frac{\left(a+b\right)^2}{\left(c+d\right)^2}^{\left(đpcm\right)}\)
b)Tương tự như a)
a) Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\Rightarrow a=bk;c=dk\)
Thay a = bk, c = dk vào \(\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}\) và \(\frac{\left(a+b\right)^2}{\left(c+d\right)^2}\), ta có:
\(\frac{\left(bk\right)^2+b^2}{\left(dk\right)^2+d^2}=\frac{b^2k^2+b^2}{d^2k^2+d^2}=\frac{b^2\left(k^2+1\right)}{d^2\left(k^2+1\right)}=\frac{b^2}{d^2}\)
\(\frac{\left(bk+b\right)^2}{\left(dk+d\right)^2}=\frac{\left[b\left(k+1\right)\right]^2}{\left[d\left(k+1\right)\right]^2}=\frac{b^2\left(k+1\right)^2}{d^2\left(k+1\right)^2}=\frac{b^2}{d^2}\)
Vì \(\frac{b^2}{d^2}=\frac{b^2}{d^2}\Rightarrow\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\frac{\left(a+b\right)^2}{\left(c+d\right)^2}\)
Vậy \(\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\frac{\left(a+b\right)^2}{\left(c+d\right)^2}\) với \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)
b) Thay a = bk, c = dk vào \(\left(\frac{a-b}{c-d}\right)^4\)và \(\frac{a^4+b^4}{c^4+d^4}\), ta có:
\(\left(\frac{bk-b}{dk-d}\right)^4=\frac{\left(bk-b\right)^4}{\left(dk-d\right)^4}=\frac{\left[b\left(k-1\right)\right]^4}{\left[d\left(k-1\right)\right]^4}=\frac{b^4\left(k-1\right)^4}{d^4\left(k-1\right)^4}=\frac{b^4}{d^4}\)
\(\frac{\left(bk\right)^4+b^4}{\left(dk\right)^4+d^4}=\frac{b^4k^4+b^4}{d^4k^4+d^4}=\frac{b^4\left(k^4+1\right)}{d^4\left(k^4+1\right)}=\frac{b^4}{d^4}\)
Vì \(\frac{b^4}{d^4}=\frac{b^4}{d^4}\Rightarrow\left(\frac{a-b}{c-d}\right)^4=\frac{a^4+b^4}{c^4+d^4}\)
Vậy \(\left(\frac{a-b}{c-d}\right)^4=\frac{a^4+b^4}{c^4+d^4}\) với \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)
\(x.y=12\Rightarrow y=\frac{12}{x}\) thay vào pt ta có :
\(\frac{x}{3}=\frac{12}{\frac{x}{4}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{3}=\frac{3}{x}\) \(\Leftrightarrow x^2=9\) \(\Rightarrow Th1:x=3\Rightarrow y=4\)
\(Th2:x=-3\Rightarrow y=-4\)
đặt \(\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=k\Rightarrow x=3k,y=4k\)
ta có:
\(x.y=3k.4k=12.k^2=12\Rightarrow k^2=1\Rightarrow\orbr{\begin{cases}k=1\\k=-1\end{cases}}\)
\(k=1\Rightarrow x=3.1=3,y=4.1=4\)
\(k=\left(-1\right)\Rightarrow x=3.\left(-1\right)=-3,y=4.\left(-1\right)=-4\)
vậy x=3,y=4 hay x=-3, y=-4
2.\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\Rightarrow\frac{a^2}{c^2}=\frac{b^2}{d^2}\)
áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{a^2}{c^2}=\frac{b^2}{d^2}=\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}\left(1\right)\)
\(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\Rightarrow\frac{a^2}{c^2}=\frac{a}{c}\cdot\frac{a}{c}=\frac{a}{c}\cdot\frac{b}{d}=\frac{ab}{cd}\left(2\right)\)
từ (1) và (2) => \(\frac{a^2}{c^2}=\frac{b^2}{d^2}=\frac{ab}{cd}\left(đpcm\right)\)
a) Ta có: \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=>\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=>\frac{4a}{4c}=\frac{3c}{3d}\)
Theo tín chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{4a}{4c}=\frac{3b}{3d}=\frac{4a+3b}{4c+3d}=\frac{4a-3b}{4c-3d}\)(đpcm)
b) Ta có: \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=>\frac{a^2}{b^2}=\frac{c^2}{d^2}\)
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{a^2}{b^2}=\frac{c^2}{d^2}=>\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}=\frac{a^2-c^2}{b^2-d^2}\)(đpcm)