Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
easy!
TH1:Với a+b+c=0 thì từ giả thiết,suy ra:
\(a+b=-c,b+c=-a,a+c=-b\)
Khi đó:\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=-3\left(VL\right)\)
TH2:Với a+b+c khác 0,ta nhân 2 vế của giải thiết với a+b+c,ta có:
\(\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)\left(a+b+c\right)=a+b+c\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{b+c}+a+\frac{b^2}{a+c}+b+\frac{c^2}{a+b}+c=a+b+c\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}=0\left(đpcm\right)\)
Đề thiếu \(đk:a+b+c\ne0\)
Vì nếu a+b+c=0 thì \(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}=-3\) (không đúng)
Vậy bổ sung \(đk:a+b+c\ne0\)nhé bạn
Giải
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=1\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)=a+b+c\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}+\frac{a\left(b+c\right)}{b+c}+\frac{b\left(c+a\right)}{c+a}+\frac{c\left(a+b\right)}{a+b}=a+b+c\)
Suy ra \(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}=0^{\left(đpcm\right)}\)
\(VT\ge\frac{9}{a^2+2bc+b^2+2ac+c^2+2ab}=\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\ge\frac{9}{1}=9\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Đặt: \(\hept{\begin{cases}b+c-a=x\\a+c-b=y\\a+b-c=z\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2c=x+y\\2a=y+z\\2b=x+z\end{cases}}\)
\(A=\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\)
\(2A=\frac{2a}{b+c-a}+\frac{2b}{a+c-b}+\frac{2c}{a+b-c}\)
\(2A=\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y}+\frac{x+y}{z}=\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)+\left(\frac{z}{y}+\frac{y}{z}\right)\ge6\)
\(\Leftrightarrow A\ge3."="\Leftrightarrow a=b=c\)
dự đoán của Thần thánh
\(\frac{ab}{a^2+b^2}=\frac{a^2}{2a^2}=\frac{1}{2}\)
\(VT=\frac{3}{2}+\frac{9}{4}=\frac{12}{8}+\frac{18}{8}=\frac{30}{8}=\frac{15}{4}\)
\(p=\frac{ab}{a^2+b^2}+....+\frac{ca}{c^2+a^2};A=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{A}+\frac{1}{B}+\frac{1}{C}\right)\)
áp dụng BDT cô si ta có
\(\frac{ab}{a^2+b^2}+\frac{\left(a^2+b^2\right)}{\frac{4}{9}}\ge2\sqrt{\frac{ab}{\frac{4}{9}}}=\frac{2}{\frac{2}{3}}\sqrt{ab}=3\sqrt{ab}\)
tương tự với các BDT còn lại suy ra
\(p+\frac{9}{4}\left(2a^2+2b^2+2c^2\right)\ge3\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\right)\)
\(P+\frac{9}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge3\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)\)
áp dụng BDT cô si ta có
\(a^2+\frac{1}{9}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{9}}=\frac{2a}{3}\)
tương tự với b^2+c^2 ta được
\(a^2+b^2+c^2+\frac{1}{3}\ge\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)=\frac{2}{3}\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}\)
" thay 1/3 vào ta được
\(p+\frac{3}{2}\ge3\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)\)
áp dụng BDT cô si dạng " Rei " " luôn đúng với những bài ngược dấu "
\(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\ge3\sqrt[3]{\sqrt{abc}}=3\sqrt[3]{abc}\)
mà \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)
thay a+b+c=1 vào ta được
\(P+\frac{3}{2}\ge3\Leftrightarrow P\ge\frac{6}{2}-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\) " 1 "
bây giờ tính nốt con \(A=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
áp dụng BDT \(\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge\frac{1}{a+b+c}\)
\(A=\frac{9}{4}.\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge\frac{9}{4}\left(\frac{1}{a+b+c}\right)\)
mà a+b+C=1 suy ra
\(A\ge\frac{9}{4}\) "2"
từ 1 và 2 suy ra
\(VT=P+A\ge\frac{3}{2}+\frac{9}{4}=\frac{12}{8}+\frac{18}{8}=\frac{30}{8}=\frac{15}{4}\)
" đúng với dự đoán của thần thánh "
bạn đặt \(\left(\frac{x}{a};\frac{y}{b};\frac{z}{c}\right)=\left(m;n;p\right)\)
thì ta có \(\hept{\begin{cases}m+n+p=1\\\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{p}=0\end{cases}}\)
từ gt 2 , ta có \(\frac{mn+np+pn}{mpn}=0\Rightarrow mn+np+pm=0\)
từ giả thiết 1, ta có \(\left(m+n+p\right)^2=1\Rightarrow m^2+n^2+p^2+2\left(mn+np+pm\right)=1\)
=> \(m^2+n^2+p^2=1\) hay \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\)
vậy A=1
Do \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=1\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)=a+b+c\)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}+\frac{a\left(b+c\right)}{b+c}+\frac{b\left(c+a\right)}{c+a}+\frac{c\left(a+b\right)}{a+b}=a+b+c\)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}+a+b+c=a+b+c\)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}=0\)(đpcm)
Học tốt !!!!
1) gt: a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) = 1
A = a²/(b+c) + b²/(c+a) + c²/(a+b) = a[a/(b+c)] + b[b/(c+a)] + c[c/(a+b)]
= a[a/(b+c) + 1 - 1] + b[b/(c+a) + 1 - 1] + c[c/(a+b) + 1 - 1]
= a.(a+b+c)/(b+c) -a + b.(a+b+c)/(c+a) - b + c.(a+b+c)/(a+b) - c
= (a+b+c)[a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)] - (a+b+c)
= (a+b+c) - (a+b+c) = 0
Bài đó giống như tương tự nha anh
Để sau em làm chứng minh cho
Em mơi học lớp 5 nên anh thông cảm
đề đúng k z