Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng tính chất dãy tủ số bằng nhau, ta có:
\(\frac{a+b-c}{c}\) = \(\frac{a-b+c}{b}\) = \(\frac{-a+b+c}{a}\) = \(\frac{a+b+c}{a+b+c}\) = 1
=>\(\frac{a+b-c}{c}\) = 1
a+b-c = c
a+b =2c
=>\(\frac{a-b+c}{b}\) = 1
a-b+c = c
a+c =2b
=>\(\frac{-a+b+c}{a}\) = 1
-a+b+c = a
b+c =2a
Thay a+b =2c , a+c =2b , b+c =2a vào biểu thức:
M=\(\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}\) = \(\frac{2c.2b.2a}{abc}\) = \(\frac{2^3abc}{abc}\) = 23 =8
\(\frac{b+c}{a}+1=\frac{a-c}{b}+1=\frac{a-b}{c}+1\Rightarrow\frac{b+c}{a}=\frac{a-c}{b}=\frac{a-b}{c}\)
\(\Rightarrow a=b+c\), \(b=a-c\),\(c=a-b\)\(\Rightarrow A=-1\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{a+b-c}{c}=\frac{a-b+c}{b}=\frac{-a+b+c}{a}\)
\(=\frac{a+b-c+a-b+c-a+b+c}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}\)(1)
+) Nếu \(a+b+c=0\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b=-c\\b+c=-a\\c+a=-b\end{cases}}\)
Thay vào biểu thức M ta được: \(M=\frac{\left(-c\right).\left(-a\right).\left(-b\right)}{abc}=\frac{-abc}{abc}=-1\)
+) Nếu \(a+b+c\ne0\)
\(\Rightarrow\)Giá trị của (1) \(=1\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b-c=c\\a-b+c=b\\-a+b+c=a\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+b=2c\\c+a=2b\\b+c=2a\end{cases}}\)
Thay vào biểu thức M ta được: \(M=\frac{2c.2b.2a}{abc}=\frac{8abc}{abc}=8\)
Vậy \(M=-1\)hoặc \(M=8\)
TH1: Nếu \(a+b+c=0\) ( \(a,b,c\ne0\))
\(\Rightarrow a+b=-c\); \(b+c=-a\); \(c+a=-b\)
\(\Rightarrow M=\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}=\frac{\left(-c\right).\left(-a\right).\left(-b\right)}{abc}=\frac{-abc}{abc}=-1\)
TH2: Nếu \(a+b+c\ne0\)( \(a,b,c\ne0\))
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{a+b-c}{c}=\frac{a-b+c}{b}=\frac{-a+b+c}{a}\)
\(=\frac{a+b-c+a-b+c-a+b+c}{a+b+c}\)
\(=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)
\(\Rightarrow a+b-c=c\)\(\Rightarrow a+b=2c\)
\(a-b+c=b\)\(\Rightarrow a+c=2b\)
\(-a+b+c=a\)\(\Rightarrow b+c=2a\)
\(\Rightarrow M=\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}=\frac{2c.2a.2b}{abc}=\frac{8abc}{abc}=8\)
Vậy \(M=-1\)hoặc \(M=8\)
Với \(\frac{a+b-c}{c}=\frac{a-b+c}{b}=\frac{-a+b+c}{a}\) và ĐK : \(a,b,c\ne0\), ta có :
\(\frac{a+b-c}{c}=\frac{a-b+c}{b}=\frac{b-a+c}{a}\). Đặt \(\frac{a+b-c}{c}=\frac{a-b+c}{b}=\frac{b-a+c}{a}=x\), mà \(\frac{a+b-c}{c}=\frac{a-b+c}{b}=\frac{b-a+c}{a}=\frac{a+b-c+a-b+c+b-a+c}{c+b+a}\), có tiếp : \(=\frac{a-a+a+b-b+b+c-c+c}{c+b+a}=\frac{a+b+c}{c+b+a}=1\). Nhưng vì ĐK :\(=\frac{-a+b+c}{a}\), nên a + b - c = a - b + c = a - c + b = x ( coi x = a = b = c )
Tức là a,b,c = \(Stn\inℕ^∗\)
\(M=\frac{2x2x2x}{abc}=\frac{x^38}{abc}=\frac{x512}{abc}\)
Biểu thức xảy ra khi a = b = c = x
\(\frac{a+b}{c}=\frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}=\frac{a+b+b+c+c+a}{c+a+b}=2\)(T/C...)
Xét a+b+c=0
\(\Rightarrow a+b=-c,c+b=-a,a+c=-b\)
\(\Rightarrow\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)=\frac{a+b}{b}\cdot\frac{b+c}{c}\cdot\frac{a+c}{a}=\frac{-c}{b}\cdot\frac{-a}{c}\cdot\frac{-b}{a}=-1\)
Xét a+b+c\(\ne0\)
\(\Rightarrow a+b=2c,b+c=2a,c+a=2b\)
\(\Rightarrow\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)=\frac{a+b}{b}\cdot\frac{b+c}{c}\cdot\frac{a+c}{a}=\frac{2c}{b}\cdot\frac{2a}{c}\cdot\frac{2b}{a}=8\)
Giải:
+) Xét a + b + c = 0
\(\Rightarrow-a=b+c\)
\(\Rightarrow-b=a+c\)
\(\Rightarrow-c=a+b\)
Ta có:
\(\frac{a+b}{c}=\frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}=\frac{-c}{c}=\frac{-a}{a}=\frac{-b}{b}=-1\)
Lại có: \(M=\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)=\frac{a+b}{b}.\frac{b+c}{c}.\frac{c+a}{a}=\frac{a+b}{c}.\frac{b+c}{a}.\frac{c+a}{b}=-1\)
+) Xét \(a+b+c\ne0\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{a+b}{c}=\frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}=\frac{a+b+b+c+c+a}{a+b+c}=\frac{2a+2b+2c}{a+b+c}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)
Ta có:
\(M=\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)=\frac{a+b}{b}.\frac{b+c}{c}.\frac{a+c}{a}=\frac{a+b}{c}.\frac{b+c}{a}.\frac{c+a}{b}=2.2.2=8\)
Vậy M = -1 hoặc M = 8
\(\frac{a+b-c}{c}+\frac{2c}{c}=\frac{a+b+c}{c}=\)
\(\frac{a-b+c}{b}+\frac{2b}{b}=\frac{a+b+c}{b}\)
=\(\frac{-a+b+c}{a}+\frac{2a}{a}=\frac{a+b+c}{a}\)
=> \(\frac{a+b+c}{a}=\frac{a+b+c}{b}=\frac{a+b+c}{c}\)
=> a=b=c
=> M= 8
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ,ta có
\(\frac{a+b-c}{c}=\frac{a-b+c}{b}=\frac{-a+b+c}{a}=\frac{a+b-c+a-b+c-a+b+c}{c+b+a}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b-c=c\\a-b+c=b\\-a+b+c=a\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b-c+c=c+c\\a-b+b+c=b+b\\-a+a+b+c=a+a\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}a+b=2c\\a+c=2b\\b+c=2a\end{cases}}}\)
Thay các tổng a + b ; a + c ; b + c vào biểu thức M , ta có :
\(M=\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}=\frac{2c.2a.2b}{abc}=\frac{8.abc}{abc}=8\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{a+b-c}{c}=\frac{a-b+c}{b}=\frac{-a+b+c}{a}=\frac{a+b-c+a-b+c-a+b+c}{c+b+a}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)
=> \(\frac{a+b-c}{c}=1\Rightarrow a+b=2c\)
\(\frac{a-b+c}{b}=1\Rightarrow a+c=2b\)
\(\frac{-a+b+c}{a}=1\Rightarrow b+c=2a\)
Vậy \(M=\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}=\frac{2c.2b.2a}{abc}=\frac{8abc}{abc}=8\)
Câu hỏi của Đoàn Thị Như Thảo - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath