Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
đặc \(z=a+bi\) với \(\left(a;b\in R;i^2=-1\right)\)
ta có : \(\left|z-\overline{z}+2i\right|=\left|\dfrac{3}{2}z+\dfrac{1}{2}\overline{z}\right|\)
\(\Leftrightarrow\left|a+bi-a+bi+2i\right|=\left|\dfrac{3}{2}a+\dfrac{3}{2}bi+\dfrac{1}{2}a-\dfrac{1}{2}bi\right|\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(2b+2\right)^2}=\sqrt{\left(2a+b\right)^2}\) \(\Leftrightarrow2b+2=2a+b\Leftrightarrow a=\dfrac{b}{2}+1\)
ta có : \(P=\left|z-3\right|=\left|a+bi-3\right|=\sqrt{\left(a-3\right)^2+b^2}\)
\(\Leftrightarrow P=\sqrt{\left(\dfrac{b}{2}+1-3\right)^2+b^2}=\sqrt{\left(\dfrac{b}{2}-2\right)^2+b^2}\)
\(\Leftrightarrow P=\sqrt{\dfrac{5b^2}{4}-2b+4}\ge\sqrt{4-\dfrac{\left(-2\right)^2}{4.\dfrac{5}{4}}}=\dfrac{4\sqrt{5}}{5}\)
dấu "=" xảy ra khi \(b=\dfrac{2}{2.\dfrac{5}{4}}=\dfrac{4}{5}\) và \(a=\dfrac{7}{5}\) \(\Leftrightarrow z=\dfrac{7}{5}+\dfrac{4}{5}i\)
Đặt \(z=x+yi\)
\(\left|x+yi+x-yi+2\right|+2\left|x+yi-x+yi-2i\right|\le12\)
\(\Leftrightarrow\left|2x+2\right|+4\left|\left(y-1\right)i\right|\le12\)
\(\Leftrightarrow\left|x+1\right|+2\left|y-1\right|\le6\)
Tập hợp z là miền trong hình thoi (gồm cả biên) với 4 đỉnh: \(A\left(-7;1\right)\) ; \(B\left(-1;4\right)\) ; \(C\left(5;1\right)\) ; \(D\left(-1;-2\right)\)
\(P^2=\left|z-4-4i\right|^2=\left(x-4\right)^2+\left(y-4\right)^2\) có tập hợp là đường tròn (C) tâm \(I\left(4;4\right)\) bán kính \(R=P>0\) sao cho (C) và hình thoi ABCD có ít nhất 1 điểm chung
Từ hình vẽ ta thấy \(P_{max}\) khi (C) đi qua A \(\Rightarrow P=IA\) và \(P_{min}\) khi (C) tiếp xúc BC \(\Rightarrow P=d\left(I;BC\right)\)
\(\overrightarrow{IA}=\left(-11;-3\right)\Rightarrow M=IA=\sqrt{130}\)
\(\overrightarrow{BC}=\left(6;-3\right)\Rightarrow\) đường thẳng BC nhận (1;2) là 1 vtpt
Phương trình BC: \(1\left(x+1\right)+2\left(y-4\right)=0\Leftrightarrow x+2y-7=0\)
\(\Rightarrow m=d\left(I;BC\right)=\dfrac{\left|4+2.4-7\right|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\sqrt{5}\)
\(\Rightarrow M+m=\sqrt{130}+\sqrt{5}\)
Lời giải:
Đặt \(z=a+bi\). Ta có: \(|z|\leq 2\Leftrightarrow a^2+b^2\leq 4\)
Có:
\(p=2|z+1|+2|z-1|+|z-\overline{z}-4i|\)
\(=2|(a+1)+bi|+2|(a-1)+bi|+|(a+bi)-(a-bi)-4i|\)
\(=2\sqrt{(a+1)^2+b^2}+2\sqrt{(a-1)^2+b^2}+\sqrt{(2b-4)^2}\)
\(=2\sqrt{(a+1)^2+b^2}+\sqrt{(a-1)^2+b^2}+4-2b\)
(do \(a^2+b^2\leq 4\Rightarrow b^2\leq 4\Rightarrow b\leq 2\Rightarrow \sqrt{(2b-4)^2}=4-2b\) )
\(\Leftrightarrow p=2[\sqrt{(a+1)^2+b^2}+\sqrt{(a-1)^2+b^2}-b+2]\)
Theo BĐT Mincopxky :
\(p\geq 2(\sqrt{(a+1+1-a)^2+(b+b)^2}-b+2)\)
\(\Leftrightarrow p\geq 2(2\sqrt{b^2+1}-b+2)\)
Xét \(f(b)=2\sqrt{b^2+1}-b+2\) với \(b\in [-2;2]\)
Có: \(f'(b)=\frac{2b}{\sqrt{b^2+1}}-1=0\Leftrightarrow b=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}\)
Lập bảng biến thiên ta suy ra \(f(b)_{\min}=f(\frac{\sqrt{3}}{3})=2+\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow p\geq 2f(b)\geq 2(2+\sqrt{3})\)
Vậy \(p_{\min}=4+2\sqrt{3}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(b=\frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{a+1}{1-a}=\frac{b}{b}=1\Rightarrow a=0\)
\(VT=\left(a+bi\right)^2+\left(a-bi\right)^2\\ =a^2+2abi-b^2+a^2-2abi-b^2\\ =2a^2-2b^2\\ =2\left(a^2-b^2\right)=VP\)
\(VT=\left(a+bi\right)^2-\left(a-bi\right)^2\\ =a^2+2abi-b^2-\left(a^2-2abi-b^2\right)\\ =a^2+2abi-b^2-a^2+2abi+b^2\\ =4abi=VP\)
\(VT=\left(a+bi\right)^2\left(a-bi\right)^2\\ =\left[\left(a+bi\right)\left(a-bi\right)\right]^2\\ =\left[a^2-\left(bi\right)^2\right]^2\\ =\left(a^2+b^2\right)^2=VP\)