ST
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
8 tháng 5 2019
Ta có \(xy+xz+yz\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)
\(\Rightarrow x+y+z+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\ge6\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2+3\left(x+y+z\right)-18\ge0\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z+6\right)\left(x+y+z-3\right)\ge0\)
\(\Rightarrow x+y+z-3\ge0\) (do \(x+y+z+6>0\))
\(\Rightarrow x+y+z\ge3\)
\(x^2+y^2+z^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\ge\frac{3^2}{3}=3\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
//Hoặc cách khác sử dụng AM-GM:
\(x^2+1\ge2x\) ; \(y^2+1\ge2y\); \(z^2+1\ge2z\);
\(x^2+y^2+z^2\ge xy+xz+yz\Rightarrow2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy+2xz+2yz\)
Cộng vế với vế của 4 BĐT trên ta có:
\(3x^2+3y^2+3z^2+3\ge2\left(x+y+z+xy+xz+yz\right)=12\)
\(\Rightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge9\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
4 tháng 6 2020
\(3x^2+2y^2+2z^2+2yz=2\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx\right)+\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(x^2-2zx+z^2\right)=2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2+\left(x-y\right)^2+\left(x-z\right)^2=2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2=2-\left(x-y\right)^2-\left(x-z\right)^2\le2\)
\(\Rightarrow-\sqrt{2}\le x+y+z\le\sqrt{2}\)
\(B_{min}=-\sqrt{2}\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x-y=0\\x-z=0\\x+y+z=-\sqrt{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=y=z=-\frac{\sqrt{2}}{3}\)
\(B_{max}=\sqrt{2}\) khi \(x=y=z=\frac{\sqrt{2}}{3}\)
NL
1
13 tháng 10 2016
x2 + y2 + z2 = xy + yz + xz
2x2 + 2y2 + 2z2 = 2xy + 2yz + 2xz
2x2 + 2y2 + 2z2 - 2xy - 2yz - 2xz = 0
x2 - 2xy + y2 + x2 - 2xz + z2 + y2 - 2yz + z2 = 0
(x - y)2 + (x - z)2 + (y - z)2 = 0 mà (x - y)2 ; (x - z)2 ; (y - z)2 đều ko âm
=> (x - y)2 = (x - z)2 = (y - z)2 = 0 => x - y = x - z = y - z = 0 => x = y = z
Chúc bạn học tốt 
NT
30 tháng 12 2017
\(A=\left(xy+yz+xz\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)-xyz\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}\right)\\ =y+x+\dfrac{xy}{z}+y+z+\dfrac{yz}{x}+x+z+\dfrac{xz}{y}-\left(\dfrac{yz}{x}+\dfrac{xz}{y}+\dfrac{xy}{z}\right)\\ =2\left(x+y+z\right)=2.2018=4036\)
KK
8 tháng 3 2017
2)
Theo hệ quả của bất đẳng thức Cauchy ta có
\(\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+xz\right)\)
Do \(x^2+y^2+z^2\le3\)
\(\Rightarrow3\ge3\left(xy+yz+xz\right)\)
\(\Rightarrow1\ge xy+yz+xz\)
\(\Rightarrow4\ge xy+yz+xz+3\)
\(\Rightarrow\dfrac{9}{4}\le\dfrac{9}{3+xy+xz+yz}\) ( 1 )
Ta có \(C=\dfrac{1}{1+xy}+\dfrac{1}{1+yz}+\dfrac{1}{1+xz}\)
Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số
\(\Rightarrow C=\dfrac{1}{1+xy}+\dfrac{1}{1+yz}+\dfrac{1}{1+xz}\ge\dfrac{9}{3+xy+yz+xz}\) ( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 )
\(\Rightarrow C=\dfrac{1}{1+xy}+\dfrac{1}{1+yz}+\dfrac{1}{1+xz}\ge\dfrac{9}{4}\)
Vậy \(C_{min}=\dfrac{9}{4}\)
Dấu " = " xảy ra khi \(x=y=z=\sqrt{\dfrac{1}{3}}\)
PA
28 tháng 7 2017
\(x^2-25=y\left(y+6\right)\) (1)
\(\Leftrightarrow x^2-y^2-6y-25=0\)
\(\Leftrightarrow x^2-\left(y+3\right)^2=16\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y-3\right)\left(x+y+3\right)=16\)
Xét các trường hợp, ta tìm được các no nguyên của pt (1).
\(x^2+x+6=y^2\) (2)
\(\Leftrightarrow4x^2+4x+24=4y^2\)
\(\Leftrightarrow\left(2x+1\right)^2-\left(2y^2\right)=-23\)
\(\Leftrightarrow\left(2x+1-2y\right)\left(2x+1+2y\right)=-23\)
Xét các trường hợp, ta tìm được các no nguyên của pt (2).
\(x^2+13y^2=100+6xy\) (3)
\(\Leftrightarrow x^2-6xy+9y^2+4y^2=100\)
\(\Leftrightarrow\left(x-3y\right)^2+\left(2y\right)^2=0^2+\left(\pm10\right)^2=\left(\pm6\right)^2+\left(\pm8\right)^2\)
Xét các trường hợp, ta tìm được các no nguyên của pt (3).
\(x^2-4x=169-5y^2\) (4)
\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2+5y^2=173\)
Ta thấy:
\(5y^2\) luôn có chữ số tận cùng là 5 hoặc 0
=> Để thoả mãn pt (4), (x - 2)2 phải có chữ số tận cùng là 8 hoặc 3 (vô lý)
Vậy pt (4) vô n0.
\(x^2-x=6-y^2\) (5)
\(\Leftrightarrow4x^2-4x=24-4y^2\)
\(\Leftrightarrow\left(2x-1\right)^2+\left(2y\right)^2=25=\left(\pm25\right)^2+0^2=\left(\pm3\right)^2+\left(\pm4\right)^2\)
Xét các trường hợp, ta tìm được các no nguyên của pt (5).
PA
28 tháng 7 2017
\(y^3=x^3+x^2+x+1\left(1\right)\)
Ta có:
\(y^3=x^3+\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>x^3\)
\(\Rightarrow y>x\)
\(\Rightarrow y\ge x+1\)
\(\Rightarrow y^3\ge\left(x+1\right)^3\)
\(\Rightarrow x^3+x^2+x+1\ge x^3+3x^2+3x+1\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2x\le0\)
\(\Leftrightarrow2x\left(x+1\right)\le0\)
\(\Rightarrow-1\le x\le0\) mà x là số nguyên
=> x = - 1 hoặc x = 0
(+) x = - 1
VT = 0
=> y = 0 ; x = - 1 (nhận)
(+) x = 0
VT = 1
=> y = 1 ; x = 0 (nhận)
Vậy pt (1) có nonguyên (x ; y) = (0 ; 1) ; (- 1 ; 0)
\(x^4+x^2+1=y^2\) (2)
(+)
\(\left(2\right)\Leftrightarrow y^2=x^4+2x^2+1-x^2\)
\(\Leftrightarrow y^2-\left(x^2+1\right)^2=x^2\)
(+)
\(\left(2\right)\Leftrightarrow x^4+4x^2+4-3x^2-3=y^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+2\right)^2-y^2=3\left(x^2+1\right)\)
Ta thấy:
Với mọi \(x\ne0\) thì \(\left(x^2+1\right)^2< y^2< \left(x^2+2\right)^2\) (vô lý)
=> x = 0
=> y = 1 (nhận)
Vậy pt (2) có nonguyên (x ; y) = (0 ; 1)
18 tháng 6 2018
Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương , ta có :
\(\dfrac{xy}{z}+\dfrac{yz}{x}\) ≥ \(2\sqrt{\dfrac{xy}{z}.\dfrac{yz}{x}}=2\sqrt{y^2}=2y\left(1\right)\)
\(\dfrac{yz}{x}+\dfrac{xz}{y}\) ≥ \(2\sqrt{\dfrac{yz}{x}.\dfrac{xz}{y}}=2\sqrt{z^2}=2z\left(2\right)\)
\(\dfrac{xy}{z}+\dfrac{xz}{y}\) ≥ \(2\sqrt{\dfrac{xy}{z}.\dfrac{xz}{y}}=2\sqrt{x^2}=2x\left(3\right)\)
Cộng từng vế của ( 1 ; 2 ; 3) , ta được :
\(2\left(\dfrac{xy}{z}+\dfrac{yz}{x}+\dfrac{xz}{y}\right)\) ≥ \(2\left(x+y+z\right)\)
⇔ \(\dfrac{xy}{z}+\dfrac{yz}{x}+\dfrac{xz}{y}\) ≥ \(x+y+z=2019\)
⇒ \(P_{Min}=2019\) ⇔ \(x=y=z=673\)