Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng Bất Đẳng Thức Cosi ta có \(\hept{\begin{cases}\frac{x^3}{1+y}+\frac{1+y}{4}+\frac{1}{2}\ge3\sqrt[3]{\frac{x^3}{1+y}\cdot\frac{1+y}{4}\cdot\frac{1}{2}}=\frac{3x}{2}\\\frac{y^3}{1+z}+\frac{1+z}{4}+\frac{1}{2}\ge3\sqrt[3]{\frac{y^3}{1+z}\cdot\frac{1+z}{4}\cdot\frac{1}{2}}=\frac{3y}{2}\\\frac{z^3}{1+x}+\frac{1+x}{4}+\frac{1}{2}\ge3\sqrt[3]{\frac{z^3}{1+x}\cdot\frac{1+x}{4}\cdot\frac{1}{2}}=\frac{3z}{2}\end{cases}}\)
Cộng vế theo vế ta được \(P+\frac{3+x+y+z}{4}+\frac{3}{2}\ge\frac{3}{2}\left(x+y+z\right)\)
\(\Leftrightarrow P\ge\frac{5}{4}\left(x+y+z\right)-\frac{9}{4}\)
Mà ta có \(\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+zx\right)\ge9\Rightarrow x+y+z\ge3\)
Do đó \(P\ge\frac{5}{4}\cdot3-\frac{9}{4}=\frac{3}{2}\). Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1
Vậy minP=\(\frac{3}{2}\)khi x=y=z=1
Bài này có cách lập bảng biến thiên,nhưng mình sẽ làm cách đơn giản
Từ giả thiết \(x^2+y^2+z^2=1\Rightarrow0< x,y,z< 1\)
Áp dụng Bất Đẳng Thức Cosi cho 3 cặp số dương \(2x^2;1-x^2;1-x^2\)
\(\frac{2x^2+\left(1-x^2\right)+\left(1-x^2\right)}{3}\ge\sqrt[3]{2x^2\left(1-x^2\right)^2}\le\frac{2}{3}\)
\(\Leftrightarrow x\left(1-x^2\right)\le\frac{2}{3\sqrt{3}}\Leftrightarrow\frac{x}{1-x^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}x^2\Leftrightarrow\frac{x}{y^2+z^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}x^2\left(1\right)\)
Tương tự ta có \(\hept{\begin{cases}\frac{y}{z^2+x^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}y^2\left(2\right)\\\frac{z}{x^2+y^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}z^2\left(3\right)\end{cases}}\)
Cộng các vế (1), (2) và (3) ta được \(\frac{x}{y^2+z^2}+\frac{y}{z^2+x^2}+\frac{z}{x^2+y^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}\left(x^2+y^2+z^2\right)=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
Đặt \(\left(\sqrt{x};\sqrt{y};\sqrt{z}\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow a+b+c=3\)
\(M=\sqrt{a^2+\frac{1}{a^2}}+\sqrt{b^2+\frac{1}{b^2}}+\sqrt{c^2+\frac{1}{c^2}}\)
\(M\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}\)
\(M\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\frac{81}{\left(a+b+c\right)^2}}\)
\(M\ge\sqrt{2\sqrt{\frac{81\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}}}=3\sqrt{2}\)
\(M_{min}=3\sqrt{2}\) khi \(a=b=c=1\)
Ta có:
\(x+\frac{1}{x}=\left(x+\frac{2019^2}{x}\right)-\frac{2019^2-1}{x}\ge_{Cauchy}2\sqrt{x.\frac{2019^2}{x}}-\frac{2019^2-1}{2019}=2.2019-2019+\frac{1}{2019}=2019+\frac{1}{2019}\).
Tương tự, \(y+\frac{1}{y}\ge2020+\frac{1}{2020};z+\frac{1}{z}\ge2021+\frac{1}{2021}\).
Do đó: \(M\ge2019+2020+2021=3.2020=6060\).
Dấu "="xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=2019\\y=2020\\z=2021\end{matrix}\right.\)
BĐT cần chứng minh tương đương:
\(x^3+y^3+z^3+6xyz\ge\frac{\left(x+y+z\right)^3}{4}\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3+6xyz\ge x^2y+y^2z+z^2x+xy^2+yz^2+zx^2\)
Mặt khác theo BĐT Schur thì:
\(\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3+3xyz\ge x^2y+y^2z+z^2x+xy^2+yz^2+zx^2\).
Do đó điều trên luôn đúng. BĐT dc chứng minh.
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x+y+z}=\frac{9}{k}.Dau"="xayrakhi:x=y=z=\frac{k}{3}\)
1) ĐK: \(\frac{x+1}{x}>0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x>0\\x< -1\end{array}\right.\)
Đặt \(t=\sqrt{\frac{x+1}{x}}\left(t>0\right)\) , bất pt đã cho trở thành:
\(\frac{1}{t^2}-2t>3\Leftrightarrow\frac{1-2t^3-3t^2}{t^2}>0\Leftrightarrow1-2t^3-3t^2>0\)
\(\Leftrightarrow\left(t+1\right)^2\left(1-2t\right)>0\Leftrightarrow1-2t>0\Leftrightarrow t< \frac{1}{2}\)
\(t< \frac{1}{2}\Rightarrow\sqrt{\frac{x+1}{x}}< \frac{1}{2}\Leftrightarrow\frac{x+1}{x}< \frac{1}{4}\Leftrightarrow\frac{3x+4}{4x}< 0\)
Lập bảng xét dấu ta được \(-\frac{4}{3}< x< 0\)
Kết hợp điều kiện ta được: \(-\frac{4}{3}< x< -1\) là giá trị cần tìm
3) Chứng minh BĐT phụ: \(\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(a,b>0\right)\)(1)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow\frac{1}{a+b}\le\frac{a+b}{4ab}\Leftrightarrow4ab\le\left(a+b\right)^2\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)
Dấu '=' xảy ra ↔ a = b
Áp dụng BĐT trên, ta có:
\(\frac{x}{x+1}=\frac{x}{x+x+y+z}=\frac{x}{x+y+x+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}\right)\)
Tương tự:
\(\frac{y}{y+1}\le\frac{1}{4}\left(\frac{y}{y+x}+\frac{y}{y+z}\right)\)
\(\frac{z}{z+1}\le\frac{1}{4}\left(\frac{z}{z+x}+\frac{z}{z+y}\right)\)
Cộng vế theo vế ba BĐT trên ta được:
\(P\le\frac{1}{4}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{y}{x+y}+\frac{x}{x+z}+\frac{z}{z+x}+\frac{z}{z+y}+\frac{y}{y+z}\right)\)
\(\Leftrightarrow P\le\frac{1}{4}\left(1+1+1\right)=\frac{3}{4}\)
Dấu '=' xảy ra khi x = y = z = 1/3 (do x + y + z = 1)
Vậy GTLN của P là 3/4 khi x = y = z = 1/3
\(P=\frac{1}{16}\sum\left(x-\frac{xy^3}{y^3+16}\right)=\frac{1}{16}\sum\left(x-\frac{xy^3}{y^3+8+8}\right)\ge\frac{1}{16}\sum\left(x-\frac{xy^3}{12y}\right)=\frac{1}{16}\sum\left(x-\frac{xy^2}{12}\right)\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{1}{16}\left(3-\frac{xy^2+yz^2+zx^2}{12}\right)\)
Không mất tính tổng quát, giả sử \(x=mid\left\{x;y;z\right\}\)
\(\Rightarrow\left(x-y\right)\left(x-z\right)\le0\Leftrightarrow x^2+yz\le xy+xz\)
\(\Leftrightarrow x^2z+yz^2\le xyz+xz^2\Rightarrow xy^2+yz^2+zx^2\le xy^2+xz^2+xyz\le xy^2+xz^2+2xyz\)
\(\Rightarrow xy^2+yz^2+zx^2\le x\left(y+z\right)^2=\frac{1}{2}.2x\left(y+z\right)\left(y+z\right)\le\frac{1}{54}\left(2x+2y+2z\right)^3\)
\(\Rightarrow xy^2+yz^2+zx^2\le4\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{1}{16}\left(3-\frac{4}{12}\right)=\frac{1}{6}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(1;2;0\right)\) và hoán vị
Cách chứng minh này ko hoàn toàn chặt chẽ đâu :D
Nó có nhiều chỗ rất lỏng đấy