Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Để ý đẳng thức : \(\dfrac{xy}{\left(y-z\right)\left(z-x\right)}+\dfrac{yz}{\left(z-x\right)\left(x-y\right)}+\dfrac{xz}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)}=\dfrac{xy\left(x-y\right)+yz\left(y-z\right)+xz\left(z-x\right)}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}=-\dfrac{\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}=-1\)
Ta luôn có: \(\left(\dfrac{x}{y-z}+\dfrac{y}{z-x}+\dfrac{z}{x-y}\right)^2\ge0\) ;\(\forall x;y;z\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{\left(y-z\right)^2}+\dfrac{y^2}{\left(z-x\right)^2}+\dfrac{z^2}{\left(x-y\right)^2}\ge-2\sum\dfrac{xy}{\left(y-z\right)\left(z-x\right)}=2\)
(ĐPcm)
Dấu = xảy ra khi \(\dfrac{x}{y-z}+\dfrac{y}{z-x}+\dfrac{z}{x-y}=0\)
Thêm 1 ý tưởng đc buff từ cách trước :))
\(BDT\LeftrightarrowΣ\dfrac{x^2}{\left(y-z\right)^2}-2=\left(Σ\dfrac{x}{y-z}\right)^2-2Σ\dfrac{xy}{\left(y-z\right)\left(z-x\right)}-2\)
\(=\dfrac{\left(Σ\left(x^3-x^2y-x^2z+xyz\right)\right)^2}{\prod\left(x-y\right)^2}-2\dfrac{Σ\left(x^2y-x^2z\right)}{\prod\left(x-y\right)}-2\)
\(=\dfrac{\left(Σ\left(x^3-x^2y-x^2z+xyz\right)\right)^2}{\prod\left(x-y\right)^2}\ge0\)
đặt x/y=a hay xy/z=a hay j đó là ra nói chung là 4 biế
n lười nháp
1. Theo BĐT AM - GM, ta có:
\(\Sigma\dfrac{1}{\left(2x+y+z\right)^2}=\Sigma\dfrac{1}{\left\{\left(x+y\right)+\left(x+z\right)\right\}^2}\le\Sigma\dfrac{1}{4\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\)
Do đó BĐT ban đầu sẽ đúng nếu ta C/m được
\(\Sigma\dfrac{1}{4\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\le\dfrac{3}{16}\Leftrightarrow\dfrac{8}{3}\left(x+y+z\right)\le\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{8}{3}\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\le\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\left(xy+yz+zx\right)\)
Nhưng điều này đúng vì \(xy+yz+zx\ge\sqrt[3]{x^2y^2z^2}=3\) và theo bổ đề bên trên. Từ đó ta có điều phải chứng minh. Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
( Còn bài 2 để suy nghĩ rồi tối đăng cho nha )
Từ \(xyzt=1\) ta có: \(\dfrac{1}{x^3\left(yz+zt+ty\right)}=\dfrac{xyzt}{x^3\left(yz+zt+ty\right)}=\dfrac{yzt}{x^2\left(yz+zt+ty\right)}\)
Đánh giá tương tự ta có:
\(pt\Leftrightarrow\dfrac{yzt}{x^2\left(yz+zt+ty\right)}+\dfrac{xzt}{y^2\left(xz+zt+tx\right)}+\dfrac{xyt}{z^2\left(xy+yt+tx\right)}+\dfrac{xyz}{t^2\left(xy+yz+zx\right)}\ge3\left(yzt+xzt+xyt+xyz\right)=3yzt+3xzt+3xyt+3xyz\)
Ta sẽ chứng minh:
\(\dfrac{yzt}{x^2\left(yz+zt+ty\right)}\ge3yzt\). Cộng theo vế rồi suy ra đpcm
T gần đi học r,có gì tối về giải full cho
\(\left(x^2-y^2\right)^2=\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)^2\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x;y>0\\x+y< 1\end{matrix}\right.\)=> dccm sai = > người ra đề sai họăc người chép đề sai ;