Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a, x^3-y^2-y=1/3
=> x^3 = y^2+y+1/3 = (y^2+y+1/4)+1/12 = (y+1/2)^2+1/12 > 0
=> x > 0
Tương tự : y,z đều > 0
Tk mk nha
ta có hpt
<=>\(\hept{\begin{cases}x^3=\left(y+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{12}\\y^3=\left(z+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{12}\\z^3=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{12}\end{cases}}\)
Vì vai trò x,y,z như nhau và x,y,z đều >0 ( câu a)
Giả sử \(x\ge y\Rightarrow x^3\ge y^3\Rightarrow\left(y+\frac{1}{2}\right)^2\ge\left(z+\frac{1}{2}\right)^2\) (1)
=>\(y+\frac{1}{2}\ge z+\frac{1}{3}\)
=>\(y\ge z\) (2)
với y>= z, từ pt(2) =>z>=x (3)
Từ 91),(2),(3)
=> x=y=z>0 (ĐPCM)
Với x=y=z>0, thay vào pt(1), Ta có
\(x^3-x^2-x-\frac{1}{3}=0\Leftrightarrow3x^3-3x^2-3x-1=0\)
<=>\(4x^3=x^3+3x^2+3x+1\Leftrightarrow4x^3=\left(x+1\right)^3\)
<=>\(\sqrt[3]{4}x=x+1\Leftrightarrow x\left(\sqrt[3]{4}-1\right)=1\Leftrightarrow x=\frac{1}{\sqrt[3]{4}-1}\)
Vãi cả lớp 8 học hệ pt , lạy mấy e rồi đó, :V
^_^
a/\(\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)=x^3+x^2+x-x^2-x-1=x^3-1\left(đpcm\right)\)
b/ \(\left(x^3+x^2y+xy^2+y^3\right)\left(x-y\right)=x^4-x^3y+x^3y-x^2y^2+x^2y^2-xy^3+xy^3-y^4=x^4-y^4\left(đpcm\right)\)
c/ \(\left(x+y+z\right)^2=\left(x+y+z\right)\left(x+y+z\right)=x^2+xy+xz+y^2+xy+yz+z^2+zx+yz=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx\left(đpcm\right)\)
d/ \(\left(x+y+z\right)^3=\left(x+y\right)^3+3\left(x+y\right)^2z+3z^2\left(x+y\right)+z^3\)
\(=\left(x+y\right)^3+3z\left(x^2+2xy+y^2\right)+3z^2\left(x+y\right)+z^3\)
\(=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3+3x^2z+6xyz+3y^2z+3z^2x+3yz^2+z^3\)
\(=x^3+y^3+z^3+3xyz+3x^2y+3xy^2+3x^2z+3y^2z+3y^2x+3yz^2+3xyz\)
\(=x^3+y^3+z^3+\left(x+z\right)\left(3xy+3xz+3y^2+3yz\right)\)
\(=x^3+y^3+z^3+\left(x+z\right)\left[3x\left(y+z\right)+3y\left(y+z\right)\right]\)
\(=x^3+y^3+z^3+\left(x+z\right)\left(y+z\right)\left(3x+3y\right)\)
\(=x^3+y^3+z^3+3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\) (đpcm)
a, Xét vế trái ta có:
(x-1)(x^2+ x+1)=x^3+ x^2+ x- x^2- x-1
=x^3+ (x^2- x^2)+(x-x)-1
=x^3-1
Vậy...
b,Xét vế trái ta có:(x^3+ x^2y+ xy^2+ y^3)(x-y)
=x^4- x^3y+ x^3y- x^2- y^2+ x^2y^2- xy^3+ xy^3- y^4
=x^4-y^4
Vậy ........
c, Xét vế trái ta có:
(x+y+z)^2=(x+y+z)(x+y+z)
=x^2+ xy+ xz+ yx+y^2+ yz+ zx+ zy+ z^2
=x^2+ y^2+ z^2+ 2xy+ 2xz+ 2yz
Vậy...............
d, Xé vế trái ta có:
(x+y+x)^3=(x+y+z)(x+y+z)(x+y+z)(x+y+z)
=(x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz)(x+y+z)
=x^3+ xy^2+ xz^2+ 2x^2y+ 2xyz+ 2x^2z+ x^2y+ y^3+ yz^2+2xy^2+ 2y^2z+z^3+ 2xyz+ x^2z+ y^2z+2xyz+ 2yz^2+ 2xz^2
=x^3+ 3xy^2+ 6xy+ 3x^2y+3xz^2+ 3x^2z+ 3yz^2+ y^3z^3 (1)
Xét vế phải ta có:x^3+ y^3+ z^3+ 3(x+y)(x+y)(y+z)
=x^3+ y^3+ z^3+ 3(xy+ xz+ y^2+ yz)(z+x)
=x^3+ y^3+ z^3+ 3(xyz+ xz^2+ y^2z+ yz^2+ x^2y+ x^2z+ xy^2+xyz)
=x^2+ y^3+ z^3 +3(2xyz+ xz^2+ y^2z+ yz^2+x^2y+x^2z+ xy^2)
=x^3+ y^3+ z^3+6xyz+ 3xz^2+ 3y^2z+3yz^2+ 3x^2y+3x^2z+3xy^2(2)
Từ (1) và (2)=>.......
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có :
\(\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(1.x+1.y+1.z\right)^2\)
\(\Leftrightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=\frac{1}{3}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{3}\)
Ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2+z^2=1\\x^3+y^3+z^3=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x^2\left(1-x\right)+y^2\left(1-y\right)+z^2\left(1-z\right)=0\)
Theo đề: \(x+y+z=1\Leftrightarrow x;y;z\le1\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1-x\ge0\\1-y\ge0\\1-z\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow x^2\left(1-x\right)+y^2\left(1-y\right)+z^2\left(1-z\right)\ge0\)
Dấu bằng xảy ra khi: \(x^2\left(1-x\right);y^2\left(1-y\right);z^2\left(1-z\right)=0\)
Kết hợp đk đầu bài x+y+z=1 suy ra x;y;z là hoán vị (0;0;1)
\(\Rightarrow S=1\)
\(\left(x+y+z\right)^2=1\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)=1\Leftrightarrow xy+yz+zx=0\)
\(\left(x+y+z\right)^3=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)+3xyz=1+3xyz\Rightarrow xyz=0\)
- \(x=0\Rightarrow xy+yz+zx=yz=0\Rightarrow\orbr{\begin{cases}y=0\\z=0\end{cases}}\).
Tương tự với các trường hợp còn lại.
\(\left(x,y,z\right)\in\left\{\left(0,0,1\right)\right\}\)và các hoán vị.
Vậy \(x+y^2+z^3=1\)
Ta có \(x+y+z=1\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^3=1\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3+3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=1\)
\(\Leftrightarrow1+3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=1\)
\(\Leftrightarrow3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=0\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y=0\\y+z=0\\z+x=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y+z=z\\x+y+z=y\\x+y+z=x\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}z=1\\y=1\\x=1\end{cases}}\)
TH1 : Nếu \(z=1\Rightarrow x^2+y^2+z^2=1\)
\(\Rightarrow x^2+y^2=0\)
\(\Rightarrow x=y=0\)
\(\Rightarrow x+y^2+z^3=0+0^2+1^3=1\)
CMTT ta có: \(x+y^2+z^3=0+1^2+0^3=1\)
\(x+y^2+z^3=1+0^2+0^3=1\) (đpcm)