Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có :
\(\left(x+y+z\right)^3=1^3=1\)
Có : \(\left(x+y+z\right)^3-x^3-y^3-z^3=1-1\)
\(\Rightarrow\left[\left(x+y+z\right)-x\right]\left[\left(x+y+z\right)^2+x^2+x\left(x+y+z\right)\right]-\left(y+z\right)\left(y^2+z^2-yz\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(y+z\right)\left[x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)+x^2+x^2+xy+yz+xz\right]-\left(y+z\right)\left(y^2+z^2-yz\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(y+z\right)\left[x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)+x^2+x^2+xy+yz+xz-y^2-z^2+yz\right]=0\)
\(\Rightarrow\left(y+z\right)\left[3x^2+3xy+3yz+3xz\right]=0\)
\(\Rightarrow3\left(y+z\right)\left(x+z\right)\left(x+y\right)=0\)
\(\Rightarrow\)y+z=0 hoặc x+z=0 hoặc x+y=0
Có : \(A=x^{2015}+y^{2015}+z^{2015}\)
\(=x^{2015}+\left(y+z\right)\left(y^{2014}-y^{2013}z+...+z^{2014}\right)\)
\(=y^{2015}+\left(x+z\right)\left(x^{2014}-x^{2013}z+...+z^{2014}\right)\)
\(=z^{2015}+\left(x+y\right)\left(x^{2014}-x^{2013}y+...+y^{2014}\right)\)
Với \(x+y=0\Rightarrow z=1\Rightarrow A=1+0=1\)
Tương tự với \(y+z=0;z+x=0\)đều có A=1
Vậy ...
Ta có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\)
\(\Leftrightarrow\frac{xy+yz+zx}{xyz}=\frac{1}{x+y+z}\)
\(\Leftrightarrow\left(xy+yz+zx\right)\left(x+y+z\right)=xyz\)
\(\Leftrightarrow x^2y+xy^2+y^2z+yz^2+z^2x+zx^2+3xyz-xyz=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2y+xy^2\right)+\left(yz^2+z^2x\right)+\left(zx^2+2xyz+y^2z\right)=0\)
\(\Leftrightarrow xy\left(x+y\right)+z^2\left(x+y\right)+z\left(x+y\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(xy+z^2+yz+zx\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=0\)
=> x = -y hoặc y = -z hoặc z = -x
Không mất tổng quát giả sử x = -y, khi đó:
\(\frac{1}{x^{2015}}+\frac{1}{y^{2015}}+\frac{1}{z^{2015}}=-\frac{1}{y^{2015}}+\frac{1}{y^{2015}}+\frac{1}{z^{2015}}=\frac{1}{z^{2015}}\)
\(\frac{1}{x^{2015}+y^{2015}+z^{2015}}=\frac{1}{-y^{2015}+y^{2015}+z^{2015}}=\frac{1}{z^{2015}}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x^{2015}}+\frac{1}{y^{2015}}+\frac{1}{z^{2015}}=\frac{1}{x^{2015}+y^{2015}+z^{2015}}\)
\(x^2+y^2+z^2=xy+yz+xz\)
\(2x^2+2y^2+2z^2=2xy+2yz+2xz\)
\(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2xz=0\)
\(\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(z^2-2xz+x^2\right)=0\)
\(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2=0\)
Vì mũ chẵn luôn lớn hơn hoặc bằng 0
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-y=0\\y-z=0\\z-x=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=y\\y=z\\z=x\end{cases}\Rightarrow}}x=y=z\)
\(\Rightarrow x^{2015}+y^{2015}+z^{2015}=x^{2015}+x^{2015}+x^{2015}=3x^{2015}\)
\(\Rightarrow3x^{2015}=3^{2016}\)
\(\Rightarrow x^{2015}=3^{2015}\)
\(\Rightarrow x=3\)
Vậy \(x=y=z=3\)
Lời giải:
Ta có:
\(x^2+2y^2+z^2-2xy-2y-4z+5=0\)
\(\Leftrightarrow (x^2+y^2-2xy)+(y^2-2y+1)+(z^2-4z+4)=0\)
\(\Leftrightarrow (x-y)^2+(y-1)^2+(z-2)^2=0\)
Ta thấy:
\(\left\{\begin{matrix} (x-y)^2\geq 0\\ (y-1)^2\geq 0\\ (z-2)^2\geq 0\end{matrix}\right., \forall x,y,z\in\mathbb{R}\)
\(\Rightarrow (x-y)^2+(y-1)^2+(z-2)^2\geq 0\)
Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} x-y=0\\ y-1=0\\ z-2=0\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=1\\ y=1\\ z=2\end{matrix}\right.\)
Do đó:
\(A=(x-1)^{2015}+(y-1)^{2015}+(z-1)^{2015}=1\)
áp dụng bất đẳng thức cauchy cho 2015 số , ta có
\(2x^{2015}+2013=x^{2015}+x^{2015}+1+1+..+1\ge2015\sqrt[2015]{x^{2015}.x^{2015}}=2015x^2\)
tương tự ta có
\(\hept{\begin{cases}2.y^{2015}+2013\ge2015y^2\\2.z^{2015}+2013\ge2015z^2\end{cases}}\)
cộng ba bất đẳng thức lại ta có \(2\left(x^{2015}+y^{2015}+z^{2015}\right)+2013.3\ge2015\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
hay \(2015\left(x^2+y^2+z^2\right)\le2.3+2013.3=2015.3\Rightarrow\left(x^2+y^2+z^2\right)\le3\)
dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1
\(x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx\)
\(2.\left(x^2+y^2+z^2\right)=2.\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\Rightarrow2.\left(x^2+y^2+z^2\right)-2xy-2yz-2zx=0\)
\(\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(z^2-2zx+x^2\right)=0\)
\(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2=0\)
Ta có: \(VT\ge0\forall x;y;z\)( tự c/m. nếu b ko c/m được thì bảo mình )
Mà \(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2=0\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2=0\\\left(y-z\right)^2=0\\\left(z-x\right)^2=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-y=0\\y-z=0\\z-x=0\end{cases}\Leftrightarrow}}\hept{\begin{cases}x=y\\y=z\\z=x\end{cases}\Leftrightarrow x=y=z}\)
Có \(x^{2014}+y^{2014}+z^{2014}=3\)
\(\Rightarrow3.x^{2014}=3\)
\(\Rightarrow x^{2014}=1\)
\(\Rightarrow x=1\)
\(\Rightarrow x=y=z=1\)
Có: \(P=x^{25}+y^4+z^{2015}\)
\(\Rightarrow P=1^{25}+1^4+1^{2015}\)
\(P=1+1+1\)
\(P=3\)
Vậy \(P=3\)
Tham khảo nhé~
Ta có: x2+y2+z2=xy+yz+zx
<=>2x2+2y2+2z2=2xy+2yz+2zx
<=>2x2+2y2+2z2-2xy-2yz-2zx=0
<=>(x2-2xy+y2)+(y2-2yz+z2)+(z2-2zx+x2)=0
<=>(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2=0
Vì \(\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2\ge0\\\left(y-z\right)^2\ge0\\\left(z-x\right)^2\ge0\end{cases}\Rightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0}\)
=>\(\hept{\begin{cases}x-y=0\\y-z=0\\z-x=0\end{cases}\Rightarrow x=y=z}\)
=>x2014=y2014=z2014
Lại có: x2014+y2014+z2014 = 3
=>3x2014 = 3 => x2014 = 1 => \(x=\pm1\)
=>\(x=y=z=\pm1\)
Thay x,y,z vào P rồi tính
Câu hỏi của Minh Triều - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Em xem bài làm tương tự ở link này nhé!!! Chú ý thay kết quả khác nhé!
x + y + z = x3 + y3 + z3 = 1
\(\Rightarrow\)( x + y + z )3 = x3 + y3 + z3 = 1
\(\Rightarrow\)( x + y )3 + z3 + 3 ( x + y ) z ( x + y + z ) = x3 + y3 + z3 = 1
\(\Rightarrow\)x3 + y3 + z3 + 3 ( x + y ) ( y + z ) ( x + z ) = x3 + y3 + z3 = 1
\(\Rightarrow\)3 ( x + y ) ( y + z ) ( x + z ) = 0
giả sử x + y = 0 \(\Rightarrow\)z = 1
Ta có : x2015 + y2015 + z2015 = ( x + y ) . A + z2015 = 1