T
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
17 tháng 1 2018
Ta có:
\(xy+yz+zx=4xyz\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4\)
\(P=\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\)
\(\le\frac{1}{16}\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{z}\right)\)
\(\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=1\)
17 tháng 1 2018
áp dụng cô si sháp cho 4 số ta được :
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\ge\frac{16}{a+b+c+d}\) Luôn đúng , ( tự chứng minh )
\(\frac{1}{16}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\right)\ge\frac{1}{a+b+c+d}\) luôn luôn đúng
áp dụng vào P ta được như sau
\(\frac{1}{x+x+y+z}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\) luôn đúng :))
\(\frac{1}{x+y+y+z}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
\(\frac{1}{x+y+z+z}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{z}\right)\)
Cộng tất cả vào ta được
\(P\le\frac{1}{16}\left(\frac{4}{x}+\frac{4}{y}+\frac{4}{z}\right)\Leftrightarrow P\le\frac{1}{4}\left(x+y+z\right)\)
Thèo đề \(xy+yz+xz=4xyz\Leftrightarrow xy+yz+xz=xyz+xyz+xyz+xyz\)
Tao cũng éo hiểu tại sao nó = nhau được
1 đề sai , 2 tao sai thế thôi
HM
3
25 tháng 11 2017
Cod : (a-b)^2 >= 0
<=> a^2+b^2 >= 2ab
<+> a^2+b^2+2ab >= 4ab
<=> (a+b)^2 >= 4ab
Với a,b > 0 thì chia cả 2 vế trên cho ab.(a+b) ta được :
a+b/ab >= 4/a+b
<=> 1/a+1/b >= 4/a+b
<=> 1/a+b <= 1/4 . (1/a+1/b)
Xét : xy/z+1 = xy/x+y+z+z = xy/(x+z)+(y+z) = xy.[1/(x+z)+(y+z)] <= xy/4 . (1/x+z + 1/y+z) = 1/4. (xy/x+z+xy/y+z)
Tương tự : yz/x+1 <= 1/4.(yz/x+y + yz/x+z)
xz/y+1 <= 1/4.(xz/y+x + xz/y+z)
=> M <= 1/4 .[ (xy/x+z + yz/x+z) + (xy/y+z + xz/y+z) + (yz/x+y + xz/y+z ) = 1/4.(y+x+z) = 1/4 . 1 = 1/4
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z và x+y+z=1
<=> x=y=z=1/3
Vậy Max của M = 1/4 <=> x=y=z=1/3
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
29 tháng 2 2020
\(x^2+xy+y^2=\left(x+y\right)^2-xy\ge\left(x+y\right)^2-\frac{1}{4}\left(x+y\right)^2=\frac{3}{4}\left(x+y\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{x^2+xy+y^2}\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\left(x+y\right)\)
Vậy:
\(P\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\left[\frac{\left(x+y\right)^2}{1+4xy}+\frac{\left(y+z\right)^2}{1+4yz}+\frac{\left(z+x\right)^2}{1+4zx}\right]\)
\(P\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\left[\frac{\left(2x+2y+2z\right)^2}{3+4\left(xy+yz+zx\right)}\right]\ge\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{9}{3+\frac{4}{3}\left(x+y+z\right)^2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{2}\)
PC
4 tháng 3 2020
\(\sqrt{x^2+xy+y^2}\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\left(x+y\right)\) mà sao thế vào là \(\frac{\sqrt{3}}{2}\left(x+y\right)^2\) vậy ạ?
H
0
4 tháng 1 2020
Đặt \(a=\frac{1}{x},b=\frac{1}{y},c=\frac{1}{z}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a,b,c>0\\ab+bc+ca=1\end{matrix}\right.\)
\(K=\frac{\frac{1}{a}}{\sqrt{\frac{1}{bc}\left(1+\frac{1}{a^2}\right)}}+\frac{\frac{1}{b}}{\sqrt{\frac{1}{ac}\left(1+\frac{1}{b^2}\right)}}+\frac{\frac{1}{c}}{\sqrt{\frac{1}{ab}\left(1+\frac{1}{c^2}\right)}}\) \(=\frac{\frac{1}{a}}{\sqrt{\frac{a^2+1}{a^2bc}}}+\frac{\frac{1}{b}}{\sqrt{\frac{b^2+1}{ab^2c}}}+\frac{\frac{1}{c}}{\sqrt{\frac{c^2+1}{abc^2}}}\)
\(=\sqrt{\frac{bc}{a^2+1}}+\sqrt{\frac{ca}{b^2+1}}+\sqrt{\frac{ab}{c^2+1}}\) \(=\sqrt{\frac{bc}{a^2+ab+bc+ca}}+\sqrt{\frac{ca}{b^2+ab+bc+ca}}+\sqrt{\frac{ab}{c^2+ab+bc+ca}}\)
\(=\sqrt{\frac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\sqrt{\frac{ca}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}+\sqrt{\frac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\)
\(\le\frac{1}{2}\left(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c}+\frac{a}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}\right)\) \(\Rightarrow K\le\frac{3}{2}\)
Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=c\Leftrightarrow x=y=z=\sqrt{3}\)
TN
3 tháng 8 2017
ĐẶt \(\left(x,y,z\right)\rightarrow\left(a,b,c\right)\) ( cho dễ nhìn thôi ko có ý j cả :) )
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a^4+bc\ge2\sqrt{a^4bc}=2a^2\sqrt{bc}\Rightarrow\frac{a^2}{a^4+bc}\le\frac{a^2}{2a^2\sqrt{bc}}=\frac{1}{2\sqrt{bc}}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng lại :
\(P\le\frac{1}{2\sqrt{ab}}+\frac{1}{2\sqrt{bc}}+\frac{1}{2\sqrt{ac}}\). Lại theo AM-GM có
\(a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\) khi đó
\(P\le\frac{1}{2\sqrt{ab}}+\frac{1}{2\sqrt{bc}}+\frac{1}{2\sqrt{ca}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\cdot\frac{ab+bc+ca}{abc}\le\frac{1}{2}\cdot\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}=\frac{1}{2}\cdot3=\frac{3}{2}\)
Xảy ra khi \(a=b=c=1\)