Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
2.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - schwarz ( hay còn gọi là bất đẳng thức Cosi ):
\(\frac{x^2}{y+1}+\frac{y^2}{z+1}+\frac{z^2}{x+1}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+3}=\frac{9}{3+3}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 1
1:
Áp dụng bất đẳng thức Cô si:
\(x\left(y+\frac{x}{1+y}\right)+y\left(z+\frac{y}{1+z}\right)+z\left(x+\frac{z}{1+x}\right)\)
\(=\left(x+y+z\right)\left[\left(y+\frac{x}{1+y}\right)+\left(z+\frac{y}{1+z}\right)+\left(x+\frac{z}{1+x}\right)\right]\)
\(=1\left[\left(x+y+z\right)+\left(\frac{x}{1+y}+\frac{y}{1+z}+\frac{z}{1+x}\right)\right]\)
\(=1\left[1+\left(\frac{x+y+z}{1+y+1+z+1+x}\right)\right]\)
\(=1\left[1+\left(\frac{1}{3+\left(x+y+z\right)}\right)\right]\)
\(=1\left[1+\frac{1}{4}\right]\)
\(=1+\frac{5}{4}=\frac{9}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = \(\frac{1}{3}\)
Bài 1:
Đặt a=x-1; b=y-1; c=z-1. Khi đó a;b;c\(\in\)[-1;1], a+b+c=0 và
\(P=\left(a+1\right)^3+\left(b+1\right)^3+\left(c+1\right)^3-3abc\)
\(=a^3+b^3+c^3-3abc+3\left(a^2+b^2+c^2\right)+3\left(a+b+c\right)+3\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)+3\left(a^2+b^2+c^2\right)+3\left(a+b+c\right)+3\)
\(=3\left(a^2+b^2+c^2\right)+3\)
Ta có: \(0\le a^2+b^2+c^2\le2\)
Từ đây ta dễ thấy Min P=3 đạt được khi x=y=z=1
Ta xét tống T của 3 số x(1-y);y(1-x);z(1-x)
Ta có T=x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)=x+y+z-xy-xz-yz
Theo giả thiết xyz=(1-x)(1-y)(1-z)=1-(x+y+z-xy-xz-yz)-xyz
=> 2xyz=1-T => T=1-2xyz
Nhưng x2y2z2 =[x(1-x)][y(1-y)][z(1-z)]\(\le\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{64}\)
=> xyz\(\le\)\(\frac{1}{8}\Rightarrow2xy\le\frac{1}{4}\)
Vậy \(T\ge1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\)
Vậy \(T\ge\frac{3}{4}\)nên trong 3 số x(1-x), y(1-y), z(1-z) có ít nhất một trong 3 số đó \(\ge\frac{1}{4}\left(đpcm\right)\)
Bài này chỉ vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử thôi
Có: \(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2=6xyz\)
\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz\right)=6xyz\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz=3xyz\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz\right)=3xyz\left(x+y+z\right)\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3-3xyz=3xyz\left(x+y+z\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^3+z^3=3xyz\left(x+y+z+1\right)\)
Do đó: \(x^3+y^3+z^3+1=3xyz\left(x+y+z+1\right)+1⋮x+y+z+1\)
Suy ra: \(1⋮x+y+z+1\)
\(\Rightarrow x+y+z+1=1\)( do \(x,y,z\ge0\Rightarrow x+y+z+1\ge1\))
\(\Leftrightarrow x=y=z=0\)
Vậy \(x=y=z=0\)
Thay x+y+z=1 vào biểu thức C, ta được:
\(C=\left(x+y+z-x\right)\left(x+y+z-y\right)\left(x+y+z-z\right)\)
\(C=\left(y+z\right)\left(z+x\right)\left(x+y\right)=\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\)
Ta có: \(x^3+y^3+z^3=\frac{1}{9}\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^3-3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=\frac{1}{9}\)
Thay x+y+z=1. Suy ra \(1-3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=\frac{1}{9}\)
\(\Leftrightarrow3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=\frac{8}{9}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=\frac{8}{9.3}=\frac{8}{27}\)
\(\Rightarrow C=\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=\frac{8}{27}.\)
ĐS:...