Question

[Nguyễn Võ Anh Nguyên]

Cho x,y,z>0 và x+y+z=3

CMR:

\(\frac{1}{4x^2+y^2+z^2}+\frac{1}{4y^2+x^2+z^2}+\frac{1}{4z^2+x^2+y^2}\le\frac{1}{2}\)

Answer 1

[Thắng Nguyễn]

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=3\)

Khi đó \(\frac{1}{4x^2+y^2+z^2}=\frac{1}{3x^2+x^2+y^2+z^2}\le\frac{1}{3x^2+3}\)

Viết lại BĐT cần chứng minh như sau:

\(\frac{1}{3x^2+3}+\frac{1}{3y^2+3}+\frac{1}{3z^2+3}\le\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}+\frac{1}{z^2+1}\le\frac{3}{2}\)

Ta có BĐT phụ \(\frac{1}{x^2+1}\le-\frac{1}{2}x+1\)

\(\Leftrightarrow-\frac{x\left(x-1\right)^2}{2\left(x^2+1\right)}\ge0\) *luôn đúng*

Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:

\(\frac{1}{y^2+1}\le-\frac{1}{2}y+1;\frac{1}{z^2+1}\le-\frac{1}{2}z+1\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

\(VT\le-\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)+3=-\frac{3}{2}+3=\frac{3}{2}=VP\)

Xảy ra khi x=y=z=1

Answer 2

[Nguyễn Võ Anh Nguyên]

Cho mih hỏi bđt phụ đó là sao, có thể CM giùm mih đc hok