NB
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
24 tháng 5 2022
\(x,y,z>0\)
Áp dụng BĐT Caushy cho 3 số ta có:
\(x^3+y^3+z^3\ge3\sqrt[3]{x^3y^3z^3}=3xyz\ge3.1=3\)
\(P=\dfrac{x^3-1}{x^2+y+z}+\dfrac{y^3-1}{x+y^2+z}+\dfrac{z^3-1}{x+y+z^2}\)
\(=\dfrac{\left(x^3-1\right)^2}{\left(x^2+y+z\right)\left(x^3-1\right)}+\dfrac{\left(y^3-1\right)^2}{\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)}+\dfrac{\left(z^3-1\right)^2}{\left(x+y+z^2\right)\left(x^3-1\right)}\)
Áp dụng BĐT Caushy-Schwarz ta có:
\(P\ge\dfrac{\left(x^3+y^3+z^3-3\right)^2}{\left(x^2+y+z\right)\left(x^3-1\right)+\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)+\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)}\)
\(\ge\dfrac{\left(3-3\right)^2}{\left(x^2+y+z\right)\left(x^3-1\right)+\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)+\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)}=0\)
\(P=0\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Vậy \(P_{min}=0\)
ND
1
22 tháng 11 2019
Câu hỏi của Hoàng Thái Dương - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
VD
2
HN
1 tháng 5 2017
Ta có:
\(=\dfrac{x}{6}+\dfrac{x}{6}+\dfrac{x}{6}+\dfrac{x}{6}+\dfrac{x}{6}+\dfrac{x}{6}+\dfrac{y^2}{6}+\dfrac{y^2}{6}+\dfrac{y^2}{6}+\dfrac{z^3}{6}+\dfrac{z^3}{6}\)
\(\ge11.\sqrt[11]{\dfrac{x^6}{6^6}.\dfrac{y^6}{6^3}.\dfrac{z^6}{6^2}}=11.\sqrt[11]{\dfrac{\left(xyz\right)^6}{6^{11}}}=11.\sqrt[11]{\dfrac{1}{6^{11}}}=\dfrac{11}{6}\)
Vậy GTNN là \(A=\dfrac{11}{6}\)đạt được khi \(x=y=z=1\)
PS: Bài này nhé. Bài trước nhầm 1 chỗ. Mà kệ đừng xem bài trước làm gì nhé e.
HN
1 tháng 5 2017
Ta có:
\(=\dfrac{x}{6}+\dfrac{x}{6}+\dfrac{x}{6}+\dfrac{x}{6}+\dfrac{x}{6}+\dfrac{x}{6}+\dfrac{y^2}{6}+\dfrac{y^2}{6}+\dfrac{y^2}{6}+\dfrac{z^3}{6}+\dfrac{z^3}{6}\)
\(\ge11.\sqrt[11]{\dfrac{x^6}{6^6}.\dfrac{y^6}{6^3}.\dfrac{z^6}{2^6}}=11.\sqrt[11]{\dfrac{\left(xyz\right)^6}{6^{11}}}=11.\dfrac{xyz}{6}=\dfrac{11}{6}\)
Vậy GTNN là \(A=\dfrac{11}{6}\)đạt được khi \(x=y=z=1\)
NT
2
HP
18 tháng 3 2017
B=(x+y)/xyz=1/yz + 1/xz
có (x-y)2 = x2-2xy+y2 >/ 0 => x2-2xy+y2+4xy >/ 4xy =>(x+y)2 >/ 4xy => 1/x + 1/y >/ 4/x+y , đẳng thức xảy ra <=> x=y
=> B=1/yz + 1/xz >/ 4/yz+xz = 4/z(x+y) = 4/z(1-z)
áp dụng bđt am-gm z(1-z) </ (z+1-z)2/4 </ 1/4
=> B >/ 4/1/4 >/ 16 ,minB=16 ,đẳng thức xảy ra <=> x=y=1/4;z=1/2
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
10 tháng 1 2021
\(P+3=x+\left(y^2+1\right)+\left(z^3+1+1\right)\ge x+2y+3z\)
\(\Rightarrow P\ge x+2y+3z-3\)
\(6=\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{2y}+\dfrac{9}{3z}\ge\dfrac{\left(1+2+3\right)^2}{x+2y+3z}\)
\(\Rightarrow x+2y+3z\ge6\Rightarrow P\ge3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
23 tháng 3 2017
Lời giải:
Đến thi HSG C3 còn không được phép sử dụng những BĐT nằm ngoài phạm vi kinh điển vậy mà một bài lớp 8 tại sao lại dùng đến những công cụ như thế kia? Bằng không hãy chứng minh nó trước khi sử dụng, nếu không bài làm của bạn là vô nghĩa.
Áp dụng BĐT Holder bậc 3:
BĐT Holder: Cho \(a,b,c,m,n,p,x,y,z>0\) thì có:
\((a^3+b^3+c^3)(m^3+n^3+p^3)(x^3+y^3+z^3)\geq (amx+bny+cpz)^3\)
Cách CM: Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\frac{a^3}{a^3+b^3+c^3}+\frac{m^3}{m^3+n^3+p^3}+\frac{x^3}{x^3+y^3+z^3}\geq \frac{3axm}{\sqrt[3]{(a^3+b^3+c^3)(m^3+n^3+p^3)(x^3+y^3+z^3)}}\)
Thức hiện tương tự với các phân thức dạng trên và cộng lại ta được đpcm
Quay lại bài toán và áp dụng:
Ta có \(\left(\frac{x}{y^2}+\frac{y}{z^2}+\frac{z}{x^2}\right)\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\right)(1+1+1)\geq \left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\right)^3\)
\(\Leftrightarrow \left(\frac{x}{y^2}+\frac{y}{z^2}+\frac{z}{x^2}\right).3\geq \left(\frac{xy+yz+xz}{xyz}\right)^3\) \((1)\)
Ta biết BĐT quen thuộc sau \((xy+yz+xz)^2\geq 3xyz(x+y+z)\) (AM-GM)
\(\Rightarrow (xy+yz+xz)^2\geq 3(xyz)^2\rightarrow \frac{xy+yz+xz}{xyz}\geq \sqrt{3}\) \((2)\)
\((1),(2)\Rightarrow \frac{x}{y^2}+\frac{y}{z^2}+\frac{z}{x^2}\geq \sqrt{3}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=\sqrt{3}\)
22 tháng 3 2017
Dự đoán khi \(x=y=z=\sqrt{3}\) ta tìm được \(S=\sqrt{3}\)
Vậy ta sẽ chứng minh nó là giá trị nhỏ nhất của \(S\)
Tức là ta cần chứng minh \(\Sigma\dfrac{x}{y^2}\ge\sqrt{\dfrac{3\left(x+y+z\right)}{xyz}}\)
Thật vậy, \(\left(x,y,z\right)\) và \(\left(\dfrac{1}{x^2,},\dfrac{1}{y^2},\dfrac{1}{z^2}\right)\) là các số đối đã được sắp xếp lại
Vì vậy theo BĐT Rearrangement ta có:
\(\sum\frac{x}{y^2}=x\cdot\frac{1}{y^2}+y\cdot\frac{1}{z^2}+z\cdot\frac{1}{x^2}\geq x\cdot\frac{1}{x^2}+y\cdot\frac{1}{y^2}+z\cdot\frac{1}{z^2}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}.\)
Vậy ta còn phải chứng minh \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq\sqrt{\frac{3(x+y+z)}{xyz}}\)
Hay \(xy+xz+yz\geq\sqrt{3xyz(x+y+z)}\)
Sau khi bình phương và biến đổi 2 vế ta có \(\sum z^2(x-y)^2\geq0\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
$A=\frac{1}{xz}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{x}(\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\geq \frac{1}{x}.\frac{4}{y+z}$
$=\frac{4}{x(y+z)}=\frac{4}{x(2-x)}$
Áp dụng BĐT AM-GM:
$x(2-x)\leq \left(\frac{x+2-x}{2}\right)^2=1$
$\Rightarrow A\geq \frac{4}{1}=4$
Vậy $A_{\min}=4$. Giá trị này đạt tại $x=1; y=z=\frac{1}{2}$