K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

30 tháng 9 2018

Ta có : \(\dfrac{\left(ax+by+cz\right)^2}{x^2+y^2+z^2}=a^2+b^2+c^2\)

\(\Leftrightarrow\left(ax+by+cz\right)^2=\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2+2axby+2axcz+2bycz=a^2x^2+b^2x^2+c^2x^2+a^2y^2+b^2y^2+c^2y^2+a^2z^2+b^2z^2+c^2z^2\)

\(\Leftrightarrow2axby+2axvz+2bycz=a^2y^2+b^2x^2+a^2z^2+c^2x^2+b^2z^2+c^2y^2\)

\(\Leftrightarrow a^2y^2+b^2x^2+a^2z^2+c^2x^2+b^2z^2+c^2y^2-2axby-2azcx-2bycz=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2y^2-2axby+b^2x^2\right)+\left(a^2z^2-2azcx+c^2x^2\right)+\left(b^2z^2-2bycz+c^2y^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(ay-bx\right)^2+\left(az-cx\right)^2+\left(bz-cy\right)^2=0\)

Do \(\left(ay-bx\right)^2\ge0;\left(az-cx\right)^2\ge0;\left(bz-cy\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}ay-bx=0\\az-cx=0\\bz-cy=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}ay=bx\\az=cx\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}\\\dfrac{c}{z}=\dfrac{a}{x}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}=\dfrac{c}{z}\left(đpcm\right)\)

:Dbanh

AH
Akai Haruma
Giáo viên
12 tháng 11 2018

Lời giải:

\(\frac{(ax+by+cz)^2}{x^2+y^2+z^2}=a^2+b^2+c^2\)

\(\Rightarrow (ax+by+cz)^2=(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)\)

\(\Leftrightarrow a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2+2axby+2bycz+2axcz=a^2x^2+a^2y^2+a^2z^2+b^2x^2+b^2y^2+b^2z^2+c^2x^2+c^2y^2+c^2z^2\)

\(\Leftrightarrow 2axby+2bycz+2axcz=a^2y^2+a^2z^2+b^2x^2+b^2z^2+c^2x^2+c^2y^2\)

\(\Leftrightarrow (a^2y^2+b^2x^2-2axby)+(a^2z^2+c^2x^2-2axcz)+(b^2z^2+c^2y^2-2bycz)=0\)

\(\Leftrightarrow (ay-bx)^2+(az-cx)^2+(bz-cy)^2=0\)

Vì bản thân mỗi số hạng đều không âm nên để tổng của chúng bằng $0$ thì:

\((ay-bx)^2=(az-cx)^2=(bz-cy)^2=0\Rightarrow ay=bx; az=cx; bz=cy\)

\(\Rightarrow \frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\)

Ta có đpcm.

27 tháng 5 2018

\(\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}\\\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}\\\dfrac{x}{a}=\dfrac{z}{c}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}ay=bx\\bz=cy\\az=cx\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}ay-bx=0\\bz-cy=0\\az-cx=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left(ax-by\right)^2+\left(bz-cy\right)^2+\left(az-cx\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2x^2-2axby+b^2y^2\right)+\left(b^2z^2-2bzcy+c^2y^2\right)+\left(a^2z^2-2azcx+c^2x^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a^2x^2+b^2x^2+c^2x^2+a^2y^2+b^2y^2+c^2y^2+a^2z^2+b^2z^2+c^2z^2-\left(a^2x^2+b^2b^2+c^2y^2+2axby+2azcx+2bzcy\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(a^2+b^2+c^2\right)+y^2\left(a^2+b^2+c^2\right)+z^2\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(ax+ab+cz\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(ax+by+cz\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)=\left(ax+by+cz\right)^2\)

27 tháng 5 2018

Ta có : \(\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)=\left(ax+by+cz\right)^2\) ( theo bđt Bu-nhi-a Cop-xki )

Dấu "=" xảy ra khi \(\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}\)

Vậy nếu \(\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}\) thì \(\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)=\left(ax+by+cz\right)^2\)

28 tháng 7 2017

\(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)=\left(ax+by+cz\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a^2x^2+a^2y^2+a^2z^2+b^2x^2+b^2y^2+b^2z^2+c^2x^2+c^2y^2+c^2z^2\)

\(=a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2+2axby+2bycz+2axcz\)

Trừ cả 2 vế cho \(a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2\), ta có:

\(a^2y^2+a^2z^2+b^2x^2+b^2z^2+c^2x^2+c^2y^2=2axby+2bycz+2axcz\)

\(\Rightarrow a^2y^2+a^2z^2+b^2x^2+b^2z^2+c^2x^2+c^2y^2-2axby-2bycz-2axcz=0\)

\(\left(a^2y^2+b^2x^2-2axby\right)+\left(a^2z^2+c^2z^2-2axcz\right)+\left(b^2z^2+c^2y^2-2bycz\right)=0\)

\(\left(ay-bx\right)^2+\left(az-cx\right)^2+\left(bz-cy\right)^2=0\)

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(ay-bx\right)^2\ge0\\\left(az-cx\right)^2\ge0\\\left(bz-cy\right)^2\ge0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}ay-bx=0\\az-cx=0\\bz-cy=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}ay=bx\\az=cx\\bz=cy\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}=\dfrac{c}{z}\)

=> đpcm

23 tháng 10 2018

Đặt \(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}=\frac{1}{k}\Rightarrow x=ak;y=bk;y=ck\)

\(\Rightarrow\frac{x^2+y^2+z^2}{\left(ax+by+cz\right)^2}=\frac{a^2k^2+b^2k^2+c^2k^2}{\left(a^2k+b^2k+c^2k\right)^2}=\frac{k^2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{k^2\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\)

23 tháng 10 2018

Mạo phép sửa đề!CMR: \(\frac{x^2+y^2+z^2}{\left(ax+by+cz\right)^2}=\frac{3}{a^2+b^2+c^2}\)

Ta có: \(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\Rightarrow\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}\) 

\(\Rightarrow\frac{x^2}{ax}=\frac{y^2}{by}=\frac{z^2}{cz}=\frac{x^2+y^2+z^2}{ax+by+cz}\)  (t/c dãy tỉ số bằng nhau)

\(\Rightarrow\frac{x^2}{\left(ax\right)^2}=\frac{y^2}{\left(by\right)^2}=\frac{z^2}{\left(cz\right)^2}=\frac{x^2+y^2+z^2}{\left(ax+by+cz\right)^2}\) (1)

Lại có: \(\frac{x^2}{\left(ax\right)^2}=\frac{y^2}{\left(by\right)^2}=\frac{z^2}{\left(cz\right)^2}=\) \(\frac{x^2}{a^2x^2}=\frac{y^2}{b^2y^2}=\frac{z^2}{c^2z^2}=\frac{1}{a^2}=\frac{1}{b^2}=\frac{1}{c^2}=\frac{3}{a^2+b^2+c^2}\)

11 tháng 12 2022

Đặt x/a=y/b=z/c=k

=>x=ak; y=bk; z=ck

\(\dfrac{x^2+y^2+z^2}{\left(ax+by+cz\right)^2}=\dfrac{a^2k^2+b^2k^2+c^2k^2}{\left(a\cdot ak+b\cdot bk+c\cdot ck\right)^2}\)

\(=\dfrac{k^2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{k^2\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}=\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}\)

15 tháng 2 2019

ta có x+y+z=0 =>x^2=(y+z)^2
y^2=(x+z)^2
z^2=(x+y)^2
do đó ax^2+by^2+cz^2
=a(y+z)^2+b(x+z)^2+c(x+y)^2
=a(y^2+2yz+z^2)+b(x^2+2xz+z^2)
+c(x^2+2xy+y^2)
=x^2(b+c)+y^2(a+c)+z^2(a+b)
+2(ayz+bxz+cxy) (1)
thay b+c=-a ,a+c=-b , a+b=-c do a+b+c=0
và ayz+bxz+cxy=0 do a/x+b/y+c/z=0 vào (1) ta được
ax^2+by^2+cz^2 = -(ax^2+by^2+cz^2)
=> ax^2+by^2+cz^2=0

NV
15 tháng 2 2019

Ta có:

\(\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{y}+\dfrac{a+b}{x+y}=0\Leftrightarrow ay\left(x+y\right)+bx\left(x+y\right)+xy\left(a+b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow axy+ay^2+bx^2+bxy+axy+bxy=0\)

\(\Leftrightarrow ay^2+2axy+2bxy+bx^2=0\)

Vậy:

\(ax^2+by^2+cz^2=ax^2+by^2-\left(a+b\right)\left(x+y\right)^2\)

\(=ax^2+by^2-\left(ax^2+2axy+ay^2+bx^2+2bxy+by^2\right)\)

\(=-\left(ay^2+2axy+2bxy+by^2\right)=-0=0\)

23 tháng 10 2018

Giả sử điều cần c/m là đúng . Khi đó , ta có :

\(\dfrac{x^2+y^2+z^2}{\left(ax+by+cz\right)^2}=\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)=\left(ax+by+cz\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^2a^2+y^2a^2+z^2a^2+x^2b^2+y^2b^2+z^2b^2+x^2c^2+y^2c^2+z^2c^2\)

\(=x^2a^2+b^2y^2+c^2z^2+2axby+2bycz+2axcz\)

\(\Leftrightarrow y^2a^2+z^2a^2+x^2b^2+z^2b^2+x^2c^2+y^2c^2=2axby+2bycz+2axcz\)

\(\Leftrightarrow y^2a^2+z^2a^2+x^2b^2+z^2b^2+x^2c^2+y^2c^2-2axby-2bycz-2axcz=0\) \(\Leftrightarrow\left(y^2a^2-2axby+b^2x^2\right)+\left(b^2z^2-2bycz+c^2y^2\right)+\left(x^2c^2-2axcz+a^2z^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(ay-bx\right)^2+\left(bz-cy\right)^2+\left(cx-az\right)^2=0\left(1\right)\)

Do \(\left\{{}\begin{matrix}\left(ay-bx\right)^2\ge0\\\left(bz-cy\right)^2\ge0\\\left(cx-az\right)^2\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(ay-bx\right)^2+\left(bz-cy\right)^2+\left(cx-az\right)^2\ge0\left(2\right)\)

Từ ( 1 ) ; ( 2 ) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}ay-bx=0\\bz-cy=0\\cx-az=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}ay=bx\\bz=cy\\cx=az\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}\\\dfrac{b}{y}=\dfrac{c}{z}\\\dfrac{c}{z}=\dfrac{a}{x}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}=\dfrac{c}{z}\)

Điều này đúng với GT đề bài cho

\(\Rightarrow\) Điều cần c/m là đúng

\(\Rightarrow\dfrac{x^2+y^2+z^2}{\left(ax+by+cz\right)^2}=\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}\left(đpcm\right)\)

24 tháng 10 2018

hơi dài bạn ạ bđt trên đúng theo bunhia vì dấu "=" đúng với điều kiện rồi