Câu hỏi của Nguyễn Đức Duy

Question

cho x+y+z=0. chứng minh 2(x4+y4+z4)=(x2+y2+z2)2

Nguyễn Ngọc Anh Minh · Accepted Answer

$\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz$ Thay x+y+z=0 vào

$\Rightarrow0=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)$

$\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=-2\left(xy+yz+xz\right)$ (1)

Ta có

$\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=x^4+y^4+z^4+2x^2y^2+2y^2z^2+2x^2z^2$ (2)

Bình phương 2 vế của (1)

$\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=4\left(xy+yz+xz\right)^2$

$\Leftrightarrow\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=4\left(x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2+2xy^2z+2xyz^2+2x^2yz\right)$

$\Leftrightarrow\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=4\left[x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2+2xyz\left(x+y+z\right)\right]$

Do x+y+z=0 nên

$\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=4\left(x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2\right)$

$\Rightarrow\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{2}=2x^2y^2+2y^2z^2+2x^2z^2$ (3)

Thay (3) vào (2)

$\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=x^4+y^4+z^4+\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{2}$

$\Rightarrow2\left(x^4+y^4+z^4\right)=\left(x^2+y^2+z^2\right)^2$ (đpcm)

Câu trả lời: $\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz$ Thay x+y+z=0 vào