Question

[✓ ℍɠŞ_ŦƦùM $₦G ✓]

cho x;y;z thuộc Z biết (x-y)(y-z)(z-x)=x+y+z

chứng minh x+y+z chia hết cho 27

Answer 1

[Trần Thị Loan]

+) Th1: nếu 3 số x;y;z có cùng số dư khi chia cho 3 => x - y ; y - z; z - x chia hết  cho 3

=> Tích (x - y)(y - z)(z - x) chia hết cho 3.3.3 =27

+) Th2: Nếu có 2 trong 3 số có cùng số dư khi chia cho 3. Giả sử hai số đó là x; y. 

*Nếu x; y chia cho 3 dư 0 => x - y chia hết cho 3

 mà (x - y)(y - z)(z -x) = x+ y + z => x+ y + z chia hết cho 3 => z chia hết cho 3

=> (y - z); (z - x) chia hêtw cho 3 => tích (x - y)(y - z)(z - x) chia hết cho 3.3.3 = 27

* Nếu x; y chia cho 3 dư 1 => x - y chia hết cho 3 => x+ y + z chia hết cho 3. mà x + y chia cho 3 dư 2 => z chia cho 3 dư 1

=> x; y ; z chia cho 3 có cùng số dư => Tích (x - y)(y - z)(z-x) chia hết cho 27

* Tương tự, nếu x; y chia cho 3 dư 2 => z chia cho 3 dư 2 => Tích (x - y)(y - z)(z - x) chia hết cho 27

=> x+ y + z chia hết cho 27

+) Th3: Cả số x; y ; z không có cùng số dư khi cho 3

=> x; y; z chia cho 3 dư là  0;1 ; 2 và các hiệu x - y ; y - z; z - x không chia hết cho 3

x; y ;z chia cho 3 dư 0; 1;2 => x+ y + z chia hết cho 3 

tích (x - y)(y - z)(z - x) không chia hết cho 3 mà (x - y)(y - z)(z - x)  = x+ y + z

=> Th3 không xảy ra

Vậy ....