Question

[Tịnh Nhiên]

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz=1. Chứng minh rằng

\(\dfrac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}+\dfrac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}+\dfrac{\sqrt{1+x^3+z^3}}{xz}\ge3\sqrt{3}\)

2) Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn điều kiện: a>b; a+b+c=4

Tìm GTNN của biểu thức \(P=4a+3b+\dfrac{c^3}{\left(a-b\right)b}\)

@Ace Legona @TFboys

Answer 1

[TFBoys]

1) Ta c/m BĐT sau:

Với a, b > 0 thì \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a^3-a^2b\right)+\left(b^3-ab^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2\left(a-b\right)+b^2\left(b-a\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\) (luôn đúng vì a, b > 0)

Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)

Như vậy ta có \(\left\{{}\begin{matrix}x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\\y^3+z^3\ge yz\left(y+z\right)\\z^3+x^3\ge zx\left(z+x\right)\end{matrix}\right.\)

Do đó \(VT\ge\dfrac{\sqrt{xyz+xy\left(x+y\right)}}{xy}+\dfrac{\sqrt{xyz+yz\left(y+z\right)}}{yz}+\dfrac{\sqrt{xyz+zx\left(z+x\right)}}{zx}\)

\(=\dfrac{\sqrt{xy\left(x+y+z\right)}}{xy}+\dfrac{\sqrt{yz\left(x+y+z\right)}}{yz}+\dfrac{\sqrt{zx\left(x+y+z\right)}}{zx}\)

\(=\sqrt{x+y+z}\left(\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{zx}}\right)\)

\(=\sqrt{x+y+z}.\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{\sqrt{xyz}}\)

\(=\sqrt{x+y+z}.\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\)

\(\ge\sqrt{3\sqrt[3]{xyz}}.3\sqrt[3]{\sqrt{xyz}}=3\sqrt{3}\)

Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)

Answer 2

[Unruly Kid]

1) Lợi dụng BĐT AM-GM cho 3 số dương, ta được:

\(\dfrac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}\ge\dfrac{\sqrt{3\sqrt[3]{x^3.y^3.1}}}{xy}=\sqrt{\dfrac{3}{xy}}\)

Tương tự:

\(\dfrac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}\ge\sqrt{\dfrac{3}{yz}}\)

\(\dfrac{\sqrt{1+x^3+z^3}}{xz}\ge\sqrt{\dfrac{3}{xz}}\)

Cộng từng vế các BĐT trên. ta được:

\(VT\ge\sqrt{3}\left(\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{xz}}\right)\)

Tiếp tục lợi dụng AM-GM, ta được

\(\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{xz}}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{\sqrt{xy}}.\dfrac{1}{\sqrt{yz}}.\dfrac{1}{\sqrt{xz}}}=3\)

Suy ra đpcm. Đẳng thức xảy ra khi x=y=z=1