Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn :\(5\left(x^2+y^2+z^2\right)-9x\left(y+z\right)-18yz=0\)...

\(5\left(x^2+y^2+z^2\right)-9x\left(y+z\right)-18yz=0\)...">

K

Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

Mua vip

NB

Nguyễn Bùi Đại Hiệp

1 tháng 4 2020

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn :\(5\left(x^2+y^2+z^2\right)-9x\left(y+z\right)-18yz=0\)

Tìm Giá trị lớn nhất của biểu thức \(Q=\frac{2x-y-z}{y+z}\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9

1

TT

Trần Thùy Linh

1 tháng 4 2020

https://i.imgur.com/dFQIVQ9.jpg

Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên

LM

Lê Minh Đức

16 tháng 5 2017 - olm

Câu hỏi hay

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn \(x\le2\left(y+z\right)\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

\(A=\frac{x}{y^2+z^2}-\frac{1}{\left(x+y+z\right)^3}\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9

9

AN

alibaba nguyễn

16 tháng 5 2017

Đặt: y + z = a thì ta có

\(x\le2a\)

Từ đề bài thì ta có thể suy ra

\(A\le\frac{2x}{a^2}-\frac{1}{\left(x+a\right)^3}\)

\(\le\frac{4}{a}-\frac{1}{27a^3}=\frac{108a^2-1}{27a^3}\)

\(=16-\frac{\left(6a-1\right)^2\left(12a+1\right)}{27a^3}\le16\)

Vậy GTLN là \(A=16\). Dấu = xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{3}\\y=z=\frac{1}{12}\end{cases}}\)

LM

Lê Minh Đức

16 tháng 5 2017

Làm sao để tách được bởi vì làm sao dự đoán dượcđiểm rơi?

PV

Pham Van Hung

21 tháng 1 2020 - olm

Cho x;y;z > 0 thỏa mãn \(5\left(x^2+y^2+z^2\right)-9x\left(y+z\right)-18yz=0\)

Tìm Max \(Q=\frac{2x-y-z}{y+z}\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9

0

D

Dương

12 tháng 3 2021 - olm

1, CMR với mọi số thực a, b luôn có: \(a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\left(a+b\right)^2\) và \(ab\le\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2\)

2, Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn \(5\left(x^2+y^2+z^2\right)-9x\left(y+z\right)-18yz=0\)

Tìm GTLN của \(E=\frac{2x-y-z}{y+z}\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9

2

LD

Lê Duy Khương

12 tháng 3 2021

1)

+) Ta có

\(\left(a-b\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2-2ab\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge a^2+b^2+2ab\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\left(a+b\right)^2\) ( đpcm )

+ ) Theo phần trên

\(a^2+b^2\ge2ab\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+2ab\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow ab\le\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2\) ( đpcm )

KN

Kiệt Nguyễn

13 tháng 3 2021

2,

Ta có: \(5\left(x^2+y^2+z^2\right)-9x\left(y+z\right)-18yz=0\Leftrightarrow5x^2-9x\left(y+z\right)+5\left(y+z\right)^2=28yz\le7\left(y+z\right)^2\)\(\Leftrightarrow5x^2-9x\left(y+z\right)-2\left(y+z\right)^2\le0\Leftrightarrow5\left(\frac{x}{y+z}\right)^2-9.\frac{x}{y+z}-2\le0\)\(\Leftrightarrow\left(5.\frac{x}{y+z}+1\right)\left(\frac{x}{y+z}-2\right)\le0\Leftrightarrow\frac{x}{y+z}\le2\)(Do \(5.\frac{x}{y+z}+1>0\forall x,y,z>0\))

\(\Rightarrow E=\frac{2x-y-z}{y+z}=2.\frac{x}{y+z}-1\le2.2-1=3\)

Đẳng thức xảy ra khi \(y=z=\frac{x}{4}\)

HL

Hoàng Lê Minh

21 tháng 6 2020 - olm

Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn: \(0\le x\le y\le z\le1\)

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(Q=x^2\left(y-z\right)+y^2\left(z-y\right)+z^2\left(1-z\right)\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9

0

CC

cc cc

7 tháng 6 2019 - olm

cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn 5(x²+y²+z²)-9x(y+z)-18yz=0

tìm GTLN của biểu thức Q=\(\frac{2x-y-z}{y+z}\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9

1

DT

Đào Thu Hoà

7 tháng 6 2019

Ta có x,y,z là các số thực dương

Khi đó : \(5\left(x^2+y^2+z^2\right)-9x\left(y+z\right)-18yz=0.\)

\(\Leftrightarrow5\frac{x^2}{\left(y+z\right)^2}+\frac{5\left(y^2+z^2\right)}{\left(y+z\right)^2}-\frac{9x}{y+z}-\frac{18yz}{\left(y+z\right)^2}=0\)

\(\Leftrightarrow5\left(\frac{x}{y+z}\right)^2-\frac{9x}{y+z}=\frac{18yz}{\left(y+z\right)^2}-\frac{5\left(y^2+z^2\right)}{\left(y+z\right)^2}\)

\(\le\frac{\frac{18\left(y+z\right)^2}{4}}{\left(y+z\right)^2}-\frac{\frac{5\left(y+z\right)^2}{2}}{\left(y+z\right)^2}=\frac{18}{4}-\frac{5}{2}=2.\)

\(\Rightarrow5\left(\frac{x}{y+z}\right)^2-9.\frac{x}{y+z}\le2.\)

Đặt \(\frac{x}{y+z}=a>0\)ta được \(5a^2-9a-2\le0\)

\(\Leftrightarrow5a^2-10a+a-2\le0\Leftrightarrow\left(5a+1\right)\left(a-2\right)\le0\)

Dễ thấy \(5a+1>0\)\(\Rightarrow a-2\le0\Leftrightarrow a\le2\Leftrightarrow\frac{x}{y+z}\le2.\)

Ta có: \(Q=\frac{2x-y-z}{y+z}=\frac{2x}{y+z}-1\le2.2-1=3\)

Dấu '=' xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}y=z\\\frac{x}{y+z}=2\end{cases}\Leftrightarrow x=4y=4z}\)

Vậy Giá trị lớn nhất của \(Q=3\Leftrightarrow x=4y=4z.\)

DT

Dương Thiên Tuệ

8 tháng 1 2018 - olm

Cho x,y,z là những số thực dương thỏa mãn \(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=1.\)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\(P=\frac{y^2z^2}{x\left(y^2+z^2\right)}+\frac{z^2x^2}{y\left(x^2+z^2\right)}+\frac{x^2y^2}{z\left(x^2+y^2\right)}\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9

1

S

shitbo

7 tháng 5 2020

\(P=\frac{y^2z^2}{x\left(y^2+z^2\right)}+\frac{z^2x^2}{y\left(x^2+z^2\right)}+\frac{x^2y^2}{z\left(x^2+y^2\right)}\)

\(=\frac{1}{x\left(\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)}+\frac{1}{y\left(\frac{1}{z^2}+\frac{1}{x^2}\right)}+\frac{1}{z\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)}\)

Đặt \(\left(\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z}\right)\rightarrow\left(a;b;c\right)\) thì \(a^2+b^2+c^2=1\) Ta cần chứng minh:

\(P=\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{c^2+a^2}+\frac{c}{a^2+b^2}\)

\(=\frac{a}{1-a^2}+\frac{b}{1-b^2}+\frac{c}{1-c^2}\)

\(=\frac{a^2}{a\left(1-a^2\right)}+\frac{b^2}{b\left(1-b^2\right)}+\frac{c^2}{c\left(1-c^2\right)}\)

Theo đánh giá bởi AM - GM ta có:

\(a^2\left(1-a^2\right)^2=\frac{1}{2}\cdot2a^2\cdot\left(1-a^2\right)\left(1-a^2\right)\)

\(\le\frac{1}{2}\left(\frac{2a^2+1-a^2+1-a^2}{3}\right)^3=\frac{4}{27}\)

\(\Rightarrow a\left(1-a^2\right)^2\le\frac{2}{3\sqrt{3}}\Leftrightarrow\frac{a^2}{a\left(1-a\right)^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2\)

Tương tự rồi cộng lại ta có ngay điều phải chứng minh

LT

Lê Tuấn Nghĩa

12 tháng 1 2020 - olm

Cho các số thực x y z thỏa mãn x+y+z=0 \(x^2+y^2+z^2=8\) TÌm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S=\(\left|x\right|+\left|y\right|+\left|z\right|\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9

1

TL

Tran Le Khanh Linh

12 tháng 4 2020

\(S^2=\left(\left|x\right|+\left|y\right|+\left|x\right|\right)^2=x^2+y^2+z^2+2\left(\left|x\right|\left|y\right|+\left|y\right|\left|z\right|+\left|z\right|\left|x\right|\right)\)

\(S^2=x^2+y^2+z^2+\left|x\right|\left(\left|y\right|+\left|z\right|\right)+\left|y\right|\left(\left|z\right|+\left|x\right|\right)+\left|z\right|\left(\left|x\right|+\left|y\right|\right)\)

Áp dụng BĐT chứa dấu GTTĐ ta có:

\(\left|y\right|+\left|z\right|\ge\left|y+z\right|=\left|-x\right|=\left|x\right|\Rightarrow\left|x\right|\left(\left|y\right|+\left|z\right|\right)\ge z^2\)

Cmtt:\(\left|y\right|\left(\left|z\right|+\left|x\right|\right)\ge y^2,\left|z\right|\left(\left|x\right|+\left|y\right|\right)\ge z^2\)

Vì vậy \(S^2\ge2\left(x^2+y^2+z^2\right)\Rightarrow S^2\ge16\Rightarrow S\ge4\)

Dấu "=" xảy ra khi (x;y;z)=(2;-2;0) và hoán vị của nó, ta có S=4

DT

Dương Thiên Tuệ

8 tháng 1 2018 - olm

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x+y+z+xyz=4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q=\(\left(1+\frac{x}{y}+xz\right)\left(1+\frac{y}{z}+yz\right)\left(1+\frac{z}{x}+xz\right)\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9

0

BH

Bùi Hữu Vinh

23 tháng 8 2019 - olm

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x+y-z+1=0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P=\(\frac{x^3\cdot y^3}{\left(x+yz\right)\cdot\left(y+xz\right)\cdot\left(z+xy\right)^2}\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9

1

BH

Bùi Hữu Vinh

23 tháng 8 2019

mong mọi người nhanh giúp