Question

[Lê Hồ Thiên]

Cho x;y;z là các số nguyên dương . Chứng minh rằng biểu thức sau không có giá trị là số nguyên:

A=x/x+y+y/y+z+z/z+x

Làm đúng tích cho!

Answer 1

[Trần Quỳnh Mai]

* C/m : A > 1

Ta có :

\(\frac{x}{x+y}>\frac{x}{x+y+z}\)( vì x > 0 ; 0 < x + y < x + y + z )

\(\frac{y}{y+z}>\frac{y}{x+y+z}\)( vì y > 0 ; 0 < y + z < x + y + z )

\(\frac{z}{z+x}>\frac{z}{x+y+z}\)( vì z > 0 ; 0 < z + x < x + y + z )

\(\Rightarrow\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}>\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}+\frac{z}{x+y+z}\)

\(\Rightarrow A>\frac{x+y+z}{x+y+z}\Rightarrow A>1\)

* C/m : A < 2 

Áp dụng BĐT : \(\frac{a}{b}< 1\Rightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+n}{b+n}\) ( a,b,n \(\in\)N* )

Với x,y,z \(\in\)N* ta có :

- Vì : 0 < x < x + y \(\Rightarrow\frac{x}{x+y}< 1\Rightarrow\frac{x}{x+y}< \frac{x+z}{x+y+z}\)

- Vì : 0 < y < y + z \(\Rightarrow\frac{y}{y+z}< 1\Rightarrow\frac{y}{y+z}< \frac{x+y}{x+y+z}\)

- Vì : 0 < z < z + x \(\Rightarrow\frac{z}{z+x}< 1\Rightarrow\frac{z}{z+x}< \frac{z+y}{x+y+z}\)

\(\Rightarrow\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}< \frac{x+z}{x+y+z}+\frac{x+y}{x+y+z}+\frac{y+z}{x+y+z}\)

\(\Rightarrow A< \frac{x+z+x+y+y+z}{x+y+z}\Rightarrow A< \frac{2\left(x+y+z\right)}{x+y+z}\Rightarrow A< 2\)

Mà A < 1 => 1 < A < 2 ; 1 và 2 là hai số nguyên liên tiếp

=> A không có giá trị nguyên 

Vậy ...

Answer 2

[ST]

Ta có: \(\frac{x}{x+y}>\frac{x}{x+y+z}\)

\(\frac{y}{y+z}>\frac{y}{x+y+z}\)

\(\frac{z}{z+x}>\frac{z}{x+y+z}\)

\(\Rightarrow A>\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}+\frac{z}{x+y+z}=\frac{x+y+z}{x+y+z}=1\)(1)

Lại có: \(\frac{x}{x+y}< \frac{x+y}{x+y+z}\)

\(\frac{y}{y+z}< \frac{y+z}{x+y+z}\)

\(\frac{z}{z+x}< \frac{z+x}{x+y+z}\)

\(\Rightarrow A< \frac{x+y}{x+y+z}+\frac{y+z}{x+y+z}+\frac{z+x}{x+y+z}=\frac{2\left(x+y+z\right)}{x+y+z}=2\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra 1 < A < 2 

Vậy A không phải là số nguyên