Question

[Ngọc Mai]

Cho x,y,z là các số dương .Tìm GTNN của bt::

P=\(\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}+\frac{\sqrt{y^2+z^2}}{x}+\frac{\sqrt{z^2+x^2}}{y}\)

Answer 1

[Hoàng Lê Bảo Ngọc]

Áp dụng BĐT \(\sqrt{a^2+b^2}\ge\frac{\sqrt{2}}{2}\left(a+b\right)\) (bạn tự chứng minh)

Ta có \(P=\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}+\frac{\sqrt{y^2+z^2}}{x}+\frac{\sqrt{z^2+x^2}}{y}\ge\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}\right)\)

\(=\frac{\sqrt{2}}{2}\left[\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)\right]\ge\frac{\sqrt{2}}{2}\left(2+2+2\right)=3\sqrt{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x=y=z\\x,y,z>0\end{cases}}\)

Vậy min P = \(3\sqrt{2}\) khi x = y = z