Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:
\(VT\ge3\sqrt[3]{\dfrac{x^2.y^2.z^2}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)}}=3\sqrt[3]{\dfrac{1}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)}}\)
Ta có: xyz=1 và x,y,z >0
\(\Rightarrow x\le1\Rightarrow x+1\le2\Rightarrow\dfrac{1}{x+1}\ge\dfrac{1}{2}\)
Tương tự \(\dfrac{1}{y+1}\ge\dfrac{1}{2}\)
\(\dfrac{1}{z+1}\ge\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow VT\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{x+1}.\dfrac{1}{y+1}.\dfrac{1}{z+1}}=\dfrac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi x=y=z=1
Lời giải:
Ta có: \(xy+yz+xz=3xyz\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3\)
Mà theo BĐT Cauchy-Schwarz: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}\)
Do đó: \(3\geq \frac{9}{x+y+z}\Rightarrow x+y+z\geq 3\)
-------
Ta có: \(\text{VT}=x-\frac{xz}{x^2+z}+y-\frac{xy}{y^2+x}+z-\frac{yz}{z^2+y}\)
\(=(x+y+z)-\left(\frac{xy}{y^2+x}+\frac{yz}{z^2+y}+\frac{xz}{x^2+z}\right)\)
\(\geq x+y+z-\frac{1}{2}\left(\frac{xy}{\sqrt{xy^2}}+\frac{yz}{\sqrt{z^2y}}+\frac{xz}{\sqrt{x^2z}}\right)\) (AM-GM)
\(=x+y+z-\frac{1}{2}(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})\)
Tiếp tục AM-GM: \(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\leq \frac{x+1}{2}+\frac{y+1}{2}+\frac{z+1}{2}=\frac{x+y+z+3}{2}\)
Suy ra:
\(\text{VT}\geq x+y+z-\frac{1}{2}.\frac{x+y+z+3}{2}=\frac{3}{4}(x+y+z)-\frac{3}{4}\)
\(\geq \frac{9}{4}-\frac{3}{4}=\frac{3}{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
Ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=1$
Câu hỏi của Anh Tú Dương - Toán lớp 10 | Học trực tuyến
theo bđt cauchy schwarz ta có
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2\sqrt{x}}{x^3+y^2}\le\dfrac{2\sqrt{x}}{2\sqrt{x^3y^2}}=\dfrac{1}{xy}\\\dfrac{2\sqrt{y}}{y^3+z^2}\le\dfrac{2\sqrt{y}}{2\sqrt{y^3z^2}}=\dfrac{1}{yz}\\\dfrac{2\sqrt{z}}{z^3+x^2}\le\dfrac{2\sqrt{z}}{2\sqrt{z^3y^2}}=\dfrac{1}{zy}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}\le\dfrac{\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}}{2}+\dfrac{\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}}{2}+\dfrac{\dfrac{1}{z^2}+\dfrac{1}{x^2}}{2}=\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}\)\(\Rightarrow dpcm\)
Bài 1:
Biểu thức chỉ có giá trị lớn nhất, không có giá trị nhỏ nhất.
\(P=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}=1-\frac{1}{x+1}+1-\frac{1}{y+1}+1-\frac{1}{z+1}\)
\(P=3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)
Giờ chỉ cần cho biến $x$ nhỏ vô cùng đến $0$, khi đó giá trị biểu thức trong ngoặc sẽ tiến đến dương vô cùng, khi đó P sẽ tiến đến nhỏ vô cùng, do đó không có min
Nếu chuyển tìm max thì em tìm như sau:
Áp dụng BĐT Cauchy_Schwarz:
\(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\geq \frac{(1+1+1)^2}{x+1+y+1+z+1}=\frac{9}{x+y+z+3}=\frac{9}{4}\)
Do đó: \(P=3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\leq 3-\frac{9}{4}=\frac{3}{4}\)
Vậy \(P_{\min}=\frac{3}{4}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)
Bài 2:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz :
\(\frac{1}{a+3b+2c}=\frac{1}{9}\frac{9}{(a+c)+(b+c)+2b}\leq \frac{1}{9}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{2b}\right)\)
\(\Rightarrow \frac{ab}{a+3b+2c}\leq \frac{1}{9}\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}+\frac{a}{2}\right)\)
Hoàn toàn tương tự:
\(\frac{bc}{b+3c+2a}\leq \frac{1}{9}\left(\frac{bc}{b+a}+\frac{bc}{c+a}+\frac{b}{2}\right)\)
\(\frac{ac}{c+3a+2b}\leq \frac{1}{9}\left(\frac{ac}{c+b}+\frac{ac}{a+b}+\frac{c}{2}\right)\)
Cộng theo vế:
\(\Rightarrow \text{VT}\leq \frac{1}{9}\left(\frac{b(a+c)}{a+c}+\frac{a(b+c)}{b+c}+\frac{c(a+b)}{a+b}+\frac{a+b+c}{2}\right)\)
hay \(\text{VT}\leq \frac{a+b+c}{6}\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
\(\Rightarrow\dfrac{x^2}{y+1}+\dfrac{y+1}{4}\ge2\sqrt{\dfrac{x^2}{4}}=x\)
Tượng tự ta có \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{y^2}{z+1}+\dfrac{z+1}{4}\ge y\\\dfrac{z^2}{x+1}+\dfrac{x+1}{4}\ge z\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\dfrac{x^2}{y+1}+\dfrac{y^2}{z+1}+\dfrac{z^2}{x+1}+\dfrac{x+y+z}{4}+\dfrac{3}{4}\ge x+y+z\)
\(\Rightarrow\dfrac{x^2}{y+1}+\dfrac{y^2}{z+1}+\dfrac{z^2}{x+1}\ge\dfrac{3\left(x+y+z\right)}{4}-\dfrac{3}{4}\) (1)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
\(\Rightarrow x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}=3\)
\(\Rightarrow\dfrac{3\left(x+y+z\right)}{4}\ge\dfrac{9}{4}\)
\(\Rightarrow\dfrac{3\left(x+y+z\right)}{4}-\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3}{2}=1,5\) (2)
Từ (1) và (2)
\(\Rightarrow\dfrac{x^2}{y+1}+\dfrac{y^2}{z+1}+\dfrac{z^2}{x+1}\ge1,5\) (đpcm )
Dấu " = " xảy ra khi \(x=y=z=1\)
Sửa: =>\(\dfrac{x^2}{y+1}+\dfrac{y^2}{z+1}+\dfrac{z^2}{x+1}\ge\dfrac{3\left(x+y+z\right)}{4}-\dfrac{3}{4}\left(1\right)\)