Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Có : x^2+y^2+z^2 >= xy+yz+zx
<=> 3xyz >= xy+yz+zx
Chia cả 2 vế bpt cho xyz được :
3 >= 1/x + 1/y + 1/z
Lại có : (x+y+z).(1/x+1/y+1/z) >= 9 => x+y+z >= 3
Xét : x^2/y+2 + y+2/9 + x/3 >= \(3\sqrt[3]{\frac{x^2}{y+2}.\frac{y+2}{9}.\frac{x}{3}}\) = x
Tương tự : y^2/z+2 + z+2/9 + y/3 >= y
z^2/x+2 + x+2/9 + z/3 >= z
=> x^2/y+2 + y^2/z^2 + z^2/x+2 >= x+y+z - x+2/9 - y+2/9 - z+2/9 - x/3 - y/3 - z/3
= 5/9.(x+y+z) - 2/3
>= 5/9 . 3 - 2/3 = 1
=> ĐPCM
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z=1
Tk mk nha
\(\frac{x^2}{y+2}+\frac{y^2}{z+2}+\frac{z^2}{x+2}\ge1\)(*)
có \(\frac{x^2}{y+2}+\frac{y+2}{9}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y+2}\cdot\frac{y+2}{9}}=\frac{2}{3}x\Rightarrow\frac{x^2}{y+2}\ge\frac{6x-y-2}{9}\)
tương tự có \(\frac{y^2}{z+2}\ge\frac{6y-z-2}{9};\frac{z^2}{x+2}\ge\frac{6z-x-2}{9}\)
Đặt vế trái cả (*) là P. Cộng các bất đẳng thức trên theo vế ta được \(P\ge\frac{5\left(x+y+z\right)-6}{9}\)
Lại có \(\frac{\left(x+y+z\right)^3}{9}\ge3xyz,x^2+y^2+z^2\ge\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2\)
từ giả thiết suy ra \(\frac{\left(x+y+z\right)^3}{9}\ge\frac{1}{3}\left(x+y+\right)^2\Leftrightarrow x+y+z\ge3\)
Do đó P>=1
Ta có: \(\frac{x^2}{x^4+yz}\le\frac{x^2}{2\sqrt{x^4.yz}}=\frac{x^2}{2x^2\sqrt{yz}}=\frac{1}{2\sqrt{yz}}\)(BĐt cosi) (1)
CMTT: \(\frac{y^2}{y^4+xz}\le\frac{1}{2\sqrt{xz}}\) (2)
\(\frac{z^2}{z^4+xy}\le\frac{1}{2\sqrt{xy}}\)(3)
Từ (1); (2) và (3) =>A = \(\frac{x^2}{x^4+yz}+\frac{y^2}{y^4+xz}+\frac{z^2}{z^4+xy}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{xz}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{xy}}\right)\)
Áp dụng bđt \(ab+bc+ac\le a^2+b^2+c^2\)
cmt đúng: <=> \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
Khi đó: A \(\le\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{xy+yz+xz}{xyz}\le\frac{1}{2}\cdot\frac{x^2+y^2+z^2}{xyz}=\frac{3xyz}{2xyz}=\frac{3}{2}\)
Ta có : \(\frac{2}{x^2+y^2}+\frac{2}{y^2+z^2}+\frac{2}{z^2+x^2}=\frac{x^2+y^2+z^2}{x^2+y^2}+\frac{x^2+y^2+z^2}{y^2+z^2}+\frac{x^2+y^2+z^2}{z^2+x^2}=\frac{z^2}{x^2+y^2}+\frac{x^2}{y^2+z^2}+\frac{y^2}{z^2+x^2}+3\)
Ta lại có : \(x^2+y^2\le2xy\Leftrightarrow\frac{z^2}{x^2+y^2}\le\frac{z^2}{2xy}\)
\(y^2+z^2\le2yz\Leftrightarrow\frac{x^2}{y^2+z^2}\le\frac{x^2}{2yz}\)
\(z^2+x^2\le2zx\Leftrightarrow\frac{y^2}{z^2+x^2}\le\frac{y^2}{2zx}\)
Cộng vế theo vế ta có :
\(\frac{z^2}{x^2+y^2}+\frac{x^2}{y^2+z^2}+\frac{y^2}{z^2+x^2}\le\frac{z^2}{2xy}+\frac{x^2}{2yz}+\frac{y^2}{2zx}\)
\(\Leftrightarrow\frac{z^2}{x^2+y^2}+\frac{x^2}{y^2+z^2}+\frac{y^2}{z^2+x^2}+3\le\frac{z^2}{2xy}+\frac{x^2}{2yz}+\frac{y^2}{2zx}+3\)
\(\Leftrightarrow\frac{2}{x^2+y^2}+\frac{2}{y^2+z^2}+\frac{2}{z^2+x^2}\le\frac{x^2+y^2+z^2}{2xyz}+3\)
\(\Rightarrowđpcm\)
Đoạn cuối của cô Nguyễn Linh Chi em có 1 cách biến đổi tương đương cũng khá ngắn gọn ạ
\(RHS\ge2\cdot\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2-\left(x+y+z\right)+18}\)
Theo đánh giá của cô Nguyễn Linh Chi thì \(xy+yz+zx\ge x+y+z\ge3\)
Ta cần chứng minh:\(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2-\left(x+y+z\right)+18}\ge\frac{1}{2}\)
Thật vậy,BĐT tương đương với:
\(2\left(x+y+z\right)^2\ge x^2+y^2+z^2-x-y-z+18\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2+x+y+z-12\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z+4\right)\left(x+y+z-3\right)\ge0\) ( luôn đúng với \(x+y+z\ge3\) )
=> đpcm
Áp dụng: \(AB\le\frac{\left(A+B\right)^2}{4}\)với mọi A, B
Ta có:
\(x^3+8=\left(x+2\right)\left(x^2-2x+4\right)\le\frac{\left(x+2+x^2-2x+4\right)^2}{4}\)
=> \(\sqrt{x^3+8}\le\frac{x^2-x+6}{2}\)
=> \(\frac{x^2}{\sqrt{x^3+8}}\ge\frac{2x^2}{x^2-x+6}\)
Tương tự
=> \(\frac{x^2}{\sqrt{x^3+8}}+\frac{y^2}{\sqrt{y^3+8}}+\frac{z^2}{\sqrt{z^3+8}}\)
\(\ge\frac{2x^2}{x^2-x+6}+\frac{2y^2}{y^2-y+6}+\frac{2z^2}{z^2-z+6}\)
\(=2\left(\frac{x^2}{x^2-x+6}+\frac{y^2}{y^2-y+6}+\frac{z^2}{z^2-z+6}\right)\)
\(\ge2\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2-x+6+y^2-y+6+z^2-z+6}\)
\(=2\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2-\left(x+y+z\right)+18}\)(1)
Ta có: \(x+y+z\le xy+yz+zx\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\) với mọi x, y, z
=> \(\left(x+y+z\right)^2-3\left(x+y+z\right)\ge0\)
=> \(\left(x+y+z\right)\left(x+y+z-3\right)\ge0\)
=> \(x+y+z\ge3\)với mọi x, y, z dương
Và \(x^2+y^2+z^2=\left(x+y+z\right)^2-2\left(xy+yz+zx\right)\le\left(x+y+z\right)^2-2\left(x+y+z\right)\)
Do đó: \(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2-\left(x+y+z\right)+18}\)
\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2-3\left(x+y+z\right)+18}\)
Đặt: x + y + z = t ( t\(\ge3\))
Xét hiệu: \(\frac{t^2}{t^2-3t+18}-\frac{1}{2}=\frac{t^2+3t-18}{t^2-3t+18}=\frac{\left(t-3\right)\left(t+6\right)}{\left(t-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{63}{4}}\ge0\)với mọi t \(\ge3\)
Do đó: \(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2-3\left(x+y+z\right)+18}\ge\frac{1}{2}\)(2)
Từ (1); (2)
=> \(\frac{x^2}{\sqrt{x^3+8}}+\frac{y^2}{\sqrt{y^3+8}}+\frac{z^2}{\sqrt{z^3+8}}\ge2.\frac{1}{2}=1\)
Dấu "=" xảy ra <=> x= y = z = 1
Theo AM - GM và Bunhiacopski ta có được
\(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2};\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\ge\frac{2}{xy}\ge\frac{8}{\left(x+y\right)^2}\)
Khi đó \(LHS\ge\left[\frac{\left(x+y\right)^2}{2}+z^2\right]\left[\frac{8}{\left(x+y\right)^2}+\frac{1}{z^2}\right]\)
\(\)\(=\left[\frac{1}{2}+\left(\frac{z}{x+y}\right)^2\right]\left[8+\left(\frac{x+y}{z}\right)^2\right]\)
Đặt \(t=\frac{z}{x+y}\ge1\)
Khi đó:\(LHS\ge\left(\frac{1}{2}+t^2\right)\left(8+\frac{1}{t^2}\right)=8t^2+\frac{1}{2t^2}+5\)
\(=\left(\frac{1}{2t^2}+\frac{t^2}{2}\right)+\frac{15t^2}{2}+5\ge\frac{27}{2}\)
Vậy ta có đpcm
Ta có:
\(VT-VP=\frac{\left(x^2+y^2\right)\left(\Sigma xy\right)\left(\Sigma x\right)\left[z\left(x+y\right)-xy\right]\left(z-x-y\right)}{x^2y^2z^2\left(x+y\right)^2}+\frac{\left(x-y\right)^2\left(2x+y\right)^2\left(x+2y\right)^2}{2x^2y^2\left(x+y\right)^2}\ge0\)
Vì \(z\left(x+y\right)-xy\ge\left(x+y\right)^2-xy\ge4xy-xy>0\)
\(\frac{x}{3-yz}+\frac{y}{3-zx}+\frac{z}{3-xy}\le\frac{x}{3-\frac{y^2+z^2}{2}}+\frac{y}{3-\frac{z^2+x^2}{2}}+\frac{z}{3-\frac{x^2+y^2}{2}}\)
\(=\frac{2x}{3+x^2}+\frac{2y}{3+y^2}+\frac{2z}{3+z^2}\le\frac{2x}{4\sqrt[4]{x^2}}+\frac{2y}{4\sqrt[4]{y^2}}+\frac{2z}{4\sqrt[4]{z^2}}\)
\(=\frac{\sqrt{x}}{2}+\frac{\sqrt{y}}{2}+\frac{\sqrt{z}}{2}\le\frac{x^2+3}{8}+\frac{y^2+3}{8}+\frac{z^2+3}{8}\)
\(=\frac{3}{8}+\frac{9}{8}=\frac{3}{2}\)
cách khác: cũng đến chỗ <= sigma 2x/3+x^2
<= 2x/2(x+1) (do x^2+3=x^2+1+2>=2x+2) <= sigma x/x+1 = 3- sigma (1/x+1)
sigma 1/x+1 >= 9/x+y+z+3 dễ rồi
Bằng một số bước tính toán cơ bản, chúng ta có được:
\(VT-VP=\Sigma_{cyc}\frac{x\left(x-z\right)^2}{2\left(x^2+z^2\right)}\ge0\)
đề vũng tàu đây mà