Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\sqrt{3}\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2=3\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+2\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)=3\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{2\left(x+y+z\right)}{xyz}=3\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{2xyz}{xyz}=3\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+2=3\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=1\)
Ta có : \(x^2-xy=y^2-yz=z^2-zx\)Cộng 3 vế , suy ra :
\(x^2-xy+y^2-yz+z^2-zx=0\)\(< =>\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2=0\)
Do \(\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2\ge0\\\left(y-z\right)^2\ge0\\\left(z-x\right)^2\ge0\end{cases}< =>\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0}\)
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi \(\hept{\begin{cases}x-y=0\\y-z=0\\z-x=0\end{cases}< =>x=y=z}\)
Khi đó ta được : \(M=\frac{x}{z}+\frac{z}{y}+\frac{y}{x}=1+1+1=3\)( do x=y=z )
nghiện garena ff à cho xin kb nick được ko ạ có thể ghi số id
Với x, y, z >0, Có: \(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}=3\)
=> Đặt: x + y+z =t => \(t\ge3\)
\(A=\frac{x^2}{1+x}+\frac{y^2}{1+y}+\frac{z^2}{1+z}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3+x+y+z}\)
\(=\frac{t^2}{t+3}=t-3+\frac{9}{t+3}\)
\(=\left(\frac{t+3}{4}+\frac{9}{t+3}\right)+\frac{3\left(t+3\right)}{4}-6\ge2\sqrt{\frac{t+3}{4}.\frac{9}{t+3}}+3.\frac{\left(3+3\right)}{4}-6\)
\(=2.\frac{3}{2}+\frac{9}{2}-6=\frac{3}{2}\)
"=" xảy ra <=> x = y = z =1