Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có : \(x^2-xy=y^2-yz=z^2-zx\)Cộng 3 vế , suy ra :
\(x^2-xy+y^2-yz+z^2-zx=0\)\(< =>\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2=0\)
Do \(\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2\ge0\\\left(y-z\right)^2\ge0\\\left(z-x\right)^2\ge0\end{cases}< =>\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0}\)
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi \(\hept{\begin{cases}x-y=0\\y-z=0\\z-x=0\end{cases}< =>x=y=z}\)
Khi đó ta được : \(M=\frac{x}{z}+\frac{z}{y}+\frac{y}{x}=1+1+1=3\)( do x=y=z )
1) \(21x^2+21y^2+z^2\)
\(=18\left(x^2+y^2\right)+z^2+3\left(x^2+y^2\right)\)
\(\ge9\left(x+y\right)^2+z^2+3.2xy\)
\(\ge2.3\left(x+y\right).z+6xy\)
\(=6\left(xy+yz+zx\right)=6.13=78\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y ; 3(x+y) = z; xy + yz + zx= 13 <=> x = y = 1; z= 6
2) \(x+y+z=3xyz\)
<=> \(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=3\)
Đặt: \(\frac{1}{x}=a;\frac{1}{y}=b;\frac{1}{z}=c\)=> ab + bc + ca = 3
Ta cần chứng minh: \(3a^2+b^2+3c^2\ge6\)
Ta có: \(3a^2+b^2+3c^2=\left(a^2+c^2\right)+2\left(a^2+c^2\right)+b^2\)
\(\ge2ac+\left(a+c\right)^2+b^2\ge2ac+2\left(a+c\right).b=2\left(ac+ab+bc\right)=6\)
Vậy: \(\frac{3}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{3}{z^2}\ge6\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = c = \(\sqrt{\frac{3}{5}}\); \(b=2\sqrt{\frac{3}{5}}\)
khi đó: \(x=z=\sqrt{\frac{5}{3}};y=\sqrt{\frac{5}{3}}\)
2) \(x=y+1\Rightarrow x-y=1\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)\left(x^4+y^4\right)=x^8-y^8\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)\left(x^4+y^4\right)=x^8-y^8\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-y^2\right)\left(x^2+y^2\right)\left(x^4+y^4\right)=x^8-y^8\)
\(\Leftrightarrow\left(x^4-y^4\right)\left(x^4+y^4\right)=x^8-y^8\)
\(\Leftrightarrow x^8-y^8=x^8-y^8\)(đúng)
Vậy \(\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)\left(x^4+y^4\right)=x^8-y^8\)(đpcm)
Vì xy + yz + xz = 0 nên 2 (xy + yz + xz) = 0
Vì x + y + z = 0 nên (x+y+z)^2 =0
suy ra x^2 + y^2 + z^2 + 2 (xy+yz+xz) = 0
suy ra x^2 + y^2 + z^2 = 0
suy ra x = y = z = 0
Thay vào S, ta được:
S = (0-1)^1995 + 0^1996 + (z+1)^1997 = (-1) + 0 + 1 = 0
Vậy S = 0
Vì xy + yz + xz = 0 nên 2 (xy + yz + xz) = 0
Vì x + y + z = 0 nên (x+y+z)^2 =0
suy ra x^2 + y^2 + z^2 + 2 (xy+yz+xz) = 0
suy ra x^2 + y^2 + z^2 = 0
suy ra x = y = z = 0
Thay vào S, ta được:
S = (0-1)^1995 + 0^1996 + (z+1)^1997 = (-1) + 0 + 1 = 0
Vậy S = 0
Với x,y,z khác 0 ta có \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0=>\frac{yz+xz+xy}{xyz}=0=>yz+xz+xy=0\)
Ta luôn có nếu a+b+c=0 thì a3+b3+c3=3abc
Vì xy+yz+zx=0 nên x3y3+y3z3+z3x3=3x2y2z2
Với x3y3+y3z3+z3x3=3x2y2z2 ta có:
\(\frac{yz}{x^2}+\frac{xz}{y^2}+\frac{xy}{z^2}=\frac{y^3z^3+x^3z^3+x^3y^3}{x^2y^2z^2}=\frac{3x^2y^2z^2}{x^2y^2z^2}=3\)
Vậy ....