Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có BĐT sau: \(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\)(*)
Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\le2a^2+2b^2\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)(đúng)
Áp dụng, ta được: \(\left(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{2x}\right)^2\le2\left(x^2+1+2x\right)=2\left(x+1\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{x^2+1}+\sqrt{2x}\le\sqrt{2}\left(x+1\right)\)(1)
Tương tự, ta có: \(\sqrt{y^2+1}+\sqrt{2y}\le\sqrt{2}\left(y+1\right)\)(2); \(\sqrt{z^2+1}+\sqrt{2z}\le\sqrt{2}\left(z+1\right)\)(3)
Theo BĐT Cauchy-Schwarz, ta được: \(\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)^2\le\left(1+1+1\right)\left(x+y+z\right)\)
\(\Rightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\le\sqrt{3\left(x+y+z\right)}\)
\(\Rightarrow\left(2-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\le\left(2-\sqrt{2}\right)\sqrt{3\left(x+y+z\right)}\)(Nhân 2 vế của bất đẳng thức với \(2-\sqrt{2}>0\)) (4)
Cộng theo vế của 4 BĐT (1), (2), (3), (4), ta được:
\(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1}+\left(\sqrt{2x}+\sqrt{2y}+\sqrt{2z}\right)\)\(+2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)-\left(\sqrt{2x}+\sqrt{2y}+\sqrt{2z}\right)\)\(\le\sqrt{2}\left(x+y+z+3\right)+\left(2-\sqrt{2}\right)\sqrt{3\left(x+y+z\right)}\)
\(\le6\sqrt{2}+\left(2-\sqrt{2}\right).3=6+3\sqrt{2}\)(Do theo giả thiết thì \(x+y+z\le3\))
hay \(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1}+2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\le6+3\sqrt{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là \(6+3\sqrt{2}\), đạt được khi x = y = z = 1
\(\text{Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn }x+y+z=3\)
\(\text{Chứng minh rằng }T=\dfrac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}+\dfrac{y}{y+\sqrt{3y+xz}}+\dfrac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\le1\)
➤➤➤Chứng minh:
➢ Áp dụng bất đẳng thức AM - GM
\(\Rightarrow\dfrac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}=\dfrac{x}{x+\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}}\left(\text{vì }x+y+z=3\right)=\dfrac{x}{x+\sqrt{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}}\le\dfrac{x}{x+\sqrt{\left(\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\right)^2}}=\dfrac{x}{x+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)
➢ Tương tự:
\(\dfrac{y}{y+\sqrt{3y+xz}}\le\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)
\(\dfrac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\le\dfrac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)
➢ Công vế theo vế 3 bất đẳng thức cùng chiều
\(\Rightarrow\dfrac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}+\dfrac{y}{y+\sqrt{3y+xz}}+\dfrac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\le\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=1\)
➢ \(\text{Đẳng thức xảy ra khi }x=y=z=1\)
➤ \(Max_T=1\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\((\sqrt{1+x^2}+\sqrt{2x})^2\leq (1+x^2+2x)(1+1)\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{1+x^2}+\sqrt{2x}\leq \sqrt{2}(x+1)\)
Hoàn toàn tt: \(\left\{\begin{matrix} \sqrt{1+y^2}+\sqrt{2y}\leq \sqrt{2}(y+1)\\ \sqrt{1+z^2}+\sqrt{2z}\leq \sqrt{2}(z+1)\end{matrix}\right.\)
Tiếp tục Bunhiacopxky:
\((\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^2\leq (x+y+z)(1+1+1)\)
\(\Rightarrow (2-\sqrt{2})(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})\leq (2-\sqrt{2})\sqrt{3(x+y+z)}\)
Cộng theo vế những BĐT vừa thu được:
\(A\leq \sqrt{2}(x+y+z+3)+(2-\sqrt{2})\sqrt{3(x+y+z)}\)
\(\leq 6\sqrt{2}+(2-\sqrt{2}).3=6+3\sqrt{2}\)
Vậy \(A_{\max}=6+3\sqrt{2}\Leftrightarrow x=y=z=1\)
theo đề bài là 2\(\sqrt{x}\) chứ đâu phải \(\sqrt{2x}\) đâu bn
Điều kiện bạn tự làm
\(x+y+z+11=2\sqrt{x}+4\sqrt{y-1}+6\sqrt{z-2}\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2\sqrt{x}+1\right)+\left(y-1-4\sqrt{y-1}+4\right)+\left(z-2-6\sqrt{z-2}+9\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-1\right)^2+\left(\sqrt{y-1}-2\right)^2+\left(\sqrt{z-2}-3\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=5\\z=11\end{cases}}\)
Với x,y,z>0, áp dụng BĐT Bunhiacopxki
\(\left[\left(x+y\right)+\left(y+z\right)+\left(z+x\right)\right]\left(1+1+1\right)\ge\left(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)2.3\ge\left(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow6\ge\left(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}\le\sqrt{6}\) (đpcm)
Dấu "=" khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô - si cho các cặp số không âm, ta có:
\(\sqrt{\frac{2}{3}\left(x+y\right)}\le\frac{\frac{2}{3}+x+y}{2}=\frac{2+3x+3y}{6}\)
\(\sqrt{\frac{2}{3}\left(y+z\right)}\le\frac{\frac{2}{3}+y+z}{2}=\frac{2+3y+3z}{6}\)
\(\sqrt{\frac{2}{3}\left(z+x\right)}\le\frac{\frac{2}{3}+z+x}{2}=\frac{2+3z+3x}{6}\)
Cộng từng vế của các bất đẳng thức trên \(\sqrt{\frac{2}{3}}\text{∑}\sqrt{x+y}\le2\)
\(\Rightarrow\text{∑}\sqrt{x+y}\le\sqrt{6}\)
Vậy \(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}\le\sqrt{6}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)