Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{y+z}-\frac{z^2}{y+z}+\frac{z^2}{x+y}-\frac{y^2}{x+y}+\frac{y^2}{x+z}-\frac{x^2}{x+z}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x^2}{y+z}-\frac{x^2}{x+z}\right)+\left(\frac{y^2}{x+z}-\frac{y^2}{x+y}\right)+\left(\frac{z^2}{x+y}-\frac{z^2}{y+z}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2\left(\frac{1}{y+z}-\frac{1}{x+z}\right)+y^2\left(\frac{1}{x+z}-\frac{1}{x+y}\right)+z^2\left(\frac{1}{x+y}-\frac{1}{y+z}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2\left(\frac{x-y}{\left(y+z\right)\left(x+z\right)}\right)+y^2\left(\frac{y-z}{\left(x+z\right)\left(x+y\right)}\right)+z^2\left(\frac{z-x}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2\left(x-y\right)\left(x+y\right)+y^2\left(y-z\right)\left(y+z\right)+z^2\left(z-x\right)\left(z+x\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2\left(x^2-y^2\right)+y^2\left(y^2-z^2\right)+z^2\left(z^2-x^2\right)\ge0\)
\(x^4-x^2y^2+y^4-y^2z^2+z^4-z^2x^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow2x^4-2x^2y^2+2y^4-2y^2z^2+2z^4-2z^2x^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^4-2x^2y^2+y^4\right)+\left(y^4-2y^2z^2+z^4\right)+\left(z^4-2z^2x^2+x^4\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-y^2\right)^2+\left(y^2-z^2\right)^2+\left(z^2-x^2\right)^2\ge0\)(đúng)
Bạn có thể sử dụng BĐT thức Cô-si và xét trường hợp dấu bằng xảy ra nhé bạn !
Câu hỏi của Trần Ngọc Tú - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Ta có
\(x+y+z+\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{y+x}=x+y+z\)
=> \(x+\frac{x^2}{y+z}+y+\frac{y^2}{z+x}+z+\frac{z^2}{y+x}=x+y+z\)
=> \(\frac{x\left(x+y+z\right)}{y+z}+\frac{y\left(x+y+z\right)}{z+x}+\frac{z\left(x+y+z\right)}{y+x}=x+y+z\)
=> \(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{y+x}=1\)
Áp dụng BĐT cauchy schawrz dạng engel ta có:
\(\frac{\left(y+z\right)^2}{x}+\frac{\left(x+z\right)^2}{y}+\frac{\left(x+y\right)^2}{z}\ge\frac{\left(y+z+x+z+x+y\right)^2}{x+y+z}=\frac{4\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z}=4\left(x+y+z\right)\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z\)
Áp dụng BĐT cauchy schawrz dạng engel, ta có:
\(\frac{\left(y+z\right)^2}{x}+\frac{\left(x+z\right)^2}{y}+\frac{\left(x+y\right)^2}{z}\ge\frac{\left(y+z+x+z+x+y\right)^2}{x+y+z}=\frac{4\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z}=4\left(x+y+z\right)\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z\)