Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(A=\left(x-8\right)^2+2005\)
Ta có: \(\left(x-8\right)^2\ge0\forall x\in Z\)
\(\Rightarrow\left(x-8\right)^2+2005\ge2005\forall x\in Z\)
Dấu '=' xảy ra khi
\(\left(x-8\right)^2=0\Leftrightarrow x-8=0\Leftrightarrow x=8\)
Vậy: giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A=\left(x-8\right)^2+2005\) là 2005 khi x=8
\(B=\left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2+3\)
Ta có: \(\left(x-2\right)^2\ge0\forall x\in Z\)
\(\left(y-1\right)^2\ge0\forall y\in Z\)
Do đó: \(\left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2\ge0\forall x,y\in Z\)
\(\Rightarrow\left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2+3\ge3\forall x,y\in Z\)
Dấu '=' xảy ra khi
\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-2\right)^2=0\\\left(y-1\right)^2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-2=0\\y-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=1\end{matrix}\right.\)
Vậy: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(B=\left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2+3\) là 3 khi x=2 và y=1
\(C=\left|x-5\right|+\left(x-y\right)^2+10\)
Ta có: \(\left|x-5\right|\ge0\forall x\in Z\)
\(\left(x-y\right)^2\ge0\forall x,y\in Z\)
Do đó: \(\left|x-5\right|+\left(x-y\right)^2\ge0\forall x,y\in Z\)
⇒\(\left|x-5\right|+\left(x-y\right)^2+10\ge10\forall x,y\in Z\)
Dấu '=' xảy ra khi
\(\left\{{}\begin{matrix}\left|x-5\right|=0\\\left(x-y\right)^2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-5=0\\x-y=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=5\\5-y=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=5\\y=5\end{matrix}\right.\)
Vậy: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(C=\left|x-5\right|+\left(x-y\right)^2+10\) là 10 khi x=5 và y=5
\(D=\left|x-2\right|+\left|y+5\right|-10\)
Ta có: \(\left|x-2\right|\ge0\forall x\in Z\)
\(\left|y+5\right|\ge0\forall y\in Z\)
Do đó: \(\left|x-2\right|+\left|y+5\right|\ge0\forall x,y\in Z\)
\(\Rightarrow\left|x-2\right|+\left|y+5\right|-10\ge-10\forall x,y\in Z\)
Dấu '=' xảy ra khi
\(\left\{{}\begin{matrix}\left|x-2\right|=0\\\left|y+5\right|=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-2=0\\y+5=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=-5\end{matrix}\right.\)
Vậy: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(D=\left|x-2\right|+\left|y+5\right|-10\) là -10 khi x=2 và y=-5
Ta có : \(x+y\ge2\sqrt{xy}\) \(\Rightarrow xy+2\sqrt{xy}\le8\) hay \(\left(\sqrt{xy}+1\right)^2\le9\)
\(\Rightarrow\sqrt{xy}+1\le3\Rightarrow xy\le4\)
Ta có : \(\left(9-xy\right)^2=\left(x+y+1\right)^2=x^2+y^2+1+2\left(x+y+xy\right)=x^2+y^2+17\)
Vì \(xy\le4\Rightarrow9-xy\ge5\Rightarrow\left(9-xy\right)^2\ge25\Leftrightarrow x^2+y^2+17\ge25\)
\(\Rightarrow A\ge8\) . Dấu "=" xảy ra khi x = y = 2
Vậy Min A = 8 tại x = y = 2
Ta có:
\(x^2+y^2=\)
\(=\frac{1}{3}\left(x^2+4+y^2+4\right)+\frac{2}{3}\left(x^2+y^2\right)-\frac{8}{3}\)
\(\ge\frac{4}{3}\left(x+y+xy\right)-\frac{8}{3}=8\)
\(\Rightarrow P\ge8\)
Dấu = khi \(x=y=2\)
Vậy MinP=8 khi x=y=2
\(x^{2013}+x^{2013}+1+1+...+1\ge2011\sqrt[2013]{x^{2013}.x^{2013}}=2011.x^2\) (2011 số 1)
Tương tự: \(2y^{2013}+2011\ge2013y^2\) ; \(2z^{2013}+2011\ge2013z^2\)
Cộng vế với vế:
\(2\left(x^{2013}+y^{2013}+z^{2013}\right)+6033\ge2013\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\le3\)
\(M_{max}=3\) khi \(x=y=z=1\)
a: \(A=77^2+77\cdot22+77=7700\)
b: \(B=2\cdot\left(1.007+0.006\right)+2\left(-0.006-1.007\right)\)
\(=0\)
c: \(C=\left(x-1\right)\left(x^2-4x+4\right)\)
\(=\left(x-1\right)\left(x-2\right)^2=\left(3-1\right)\cdot\left(3-2\right)^2=2\)
d: \(D=\left(-5\right)^2\cdot2-2+\left(-5\right)\cdot2^2+5\)
\(=25\cdot2-2-5\cdot4+5\)
=50-2-20+5
=55-22=33
ta có
\(y=2x+\frac{1}{x^2}-2\)
hay \(y=x+x+\frac{1}{x^2}-2\ge3\sqrt[3]{\frac{x.x.1}{x^2}}-2=3-2=1\)
vậy giá trị nhỏ nhất của y là 1
Dấu bằng xảy ra khi \(x=\frac{1}{x^2}\Leftrightarrow x=1\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM ngược dấu:
\(1728=(3x+3y)(2x+2z)(2y+2z)\leq \left(\frac{5x+5y+4z}{3}\right)^3\)
\(\Rightarrow 5x+5y+4z\geq 36\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
\(18P=(5x^2+5y^2+2z^2)(5+5+8)\geq (5x+5y+4z)^2\geq 36^2\)
\(\Rightarrow P\geq 72\)
Vậy \(P_{\min}=72\Leftrightarrow (x,y,z)=(2,2,4)\)
À, rồi, hiểu ý bạn. Tức là bạn muốn CM với \(x,y,z\in\mathbb{R}\), không cần đk dương đúng không. Hôm qua thấy Thắng cmt nên chột dạ cho luôn \(x,y,z>0\)
Lời giải:
BĐT Cauchy-Schwarz và BĐT AM-GM ngược dấu với hai số vẫn luôn đúng cho trường hợp số thực: \(xy\leq \left(\frac{x+y}{2}\right)^2\Leftrightarrow (x-y)^2\geq 0\) \(\forall x,y\in\mathbb{R}\)
Giờ ghép cặp thôi:
\((3x+3y)(2x+2z)\leq \left(\frac{5x+3y+2z}{2}\right)^2\)
\((3x+3y)(2y+2z)\leq \left(\frac{5y+3x+2z}{2}\right)^2\)
\((x+z)(y+z)\leq \left(\frac{x+y+2z}{2}\right)^2\)
Bất kể vế trái có thừa số âm thừa số dương nhưng vì tích của \((x+y)(y+z)(z+x)>0\) nên khi nhân theo vế dấu không bị đổi, thu được:
\(47775744\leq (5x+3y+2z)^2(5y+3x+2z)^2(x+y+2z)^2\)
\(\leq \left(\frac{8x+8y+4z}{2}\right)^4(x+y+2z)^2\Rightarrow 2985984\leq (2x+2y+z)^4(x+y+2z)^2\)
Áp dụng Cauchy-Schwarz:
\((x^2+y^2+z^2)\geq \frac{(x+y+2z)^2}{6}\)
\(4x^2+4y^2+z^2\geq \frac{(2x+2y+z)^2}{3}\)
Giờ thì tất cả đều dương rồi. AM-GM ba số:
\(\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{(x+y+2z)^2}{6}+\frac{(2x+2y+z)^2}{6}+\frac{2x+2y+z)^2}{6}\geq 3\sqrt[3]{\frac{(x+y+2z)^2(2x+2y+z)^4}{6^3}}\geq 72\)