Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
- Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có
\left(x.\frac{1}{2}+x.\frac{1}{2}+y.\frac{1}{2}+y.\frac{1}{2}+x.\sqrt{1-x^2}+y.\sqrt{1-x^2}\right)^2\le(x.21+x.21+y.21+y.21+x.1−x2+y.1−x2)2≤
\left(x^2+x^2+y^2+y^2+x^2+y^2\right)\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+1-x^2+1-y^2\right)(x2+x2+y2+y2+x2+y2)(41+41+41+41+1−x2+1−y2)
tức là \left(x+y+x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\right)^2\le\left(3x^2+3y^2\right)\left(3-x^2-y^2\right)(x+y+x1−y2+y1−x2)2≤(3x2+3y2)(3−x2−y2)
Suy ra x+y+x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\le\sqrt{3}.\sqrt{\left(x^2+y^2\right)\left(3-x^2-y^2\right)}x+y+x1−y2+y1−x2≤3.(x2+y2)(3−x2−y2)
\le\sqrt{3}.\frac{\left(x^2+y^2\right)+\left(3-x^2-y^2\right)}{2}≤3.2(x2+y2)+(3−x2−y2)
hay x+y+x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\le\frac{3\sqrt{3}}{2}x+y+x1−y2+y1−x2≤233 (đpcm)
Viết lại điều kiện đã cho dưới dạng
\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=6ab1+bc1+ca1+a1+b1+c1=6
Áp dụng bất đẳng thức hiển nhiên xy+yz+zx\le x^2+y^2+z^2xy+yz+zx≤x2+y2+z2 ta có
\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\le\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}ab1+bc1+ca1≤a21+b21+c21 (1)
Lại áp dụng x\le\frac{x^2+1}{2}x≤2x2+1, ta có \frac{1}{a}\le\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{a^2}\right)a1≤21(1+a21), do đó
\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)+\frac{3}{2}a1+b1+c1≤21(a21+b21+c21)+23 (2)
Cộng theo vế (1), (2) và chú ý đến điều kiện ta được
6\le\frac{3}{2}\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)+\frac{3}{2}6≤23(a21+b21+c21)+23
Suy ra 3\le\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}3≤a21+b21+c21 (đpcm)
Đag lm nhà bj mất điện, đến h đc 2 tiếng r mà ch godd nào đụng à?!
Ta có: \(2\left(x^2+y^2\right)\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\le2\Rightarrow x+y\le\sqrt{2}\)
Áp dụng BĐT Bunyakovsky ta có:
\(\left(x^2+y^2\right)^2=\left(\sqrt{x}\cdot\sqrt{x^3}+\sqrt{y}\cdot\sqrt{y^3}\right)^2\le\left(x+y\right)\left(x^3+y^3\right)\)
\(\Leftrightarrow1\le\left(x^3+y^3\right)\sqrt{2}\Rightarrow x^3+y^3\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
Mặt khác ta lại có: \(\left(x,y\right)\in\left[0,1\right]\Rightarrow0\le x,y\le1\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^2\ge x^3\\y^2\ge y^3\end{cases}}\Rightarrow x^2+y^2\ge x^3+y^3\)
\(\Rightarrow x^3+y^3\le1\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(\hept{\begin{cases}x=0\\y=1\end{cases}}\) hoặc \(\hept{\begin{cases}x=1\\y=0\end{cases}}\)
P/s: \(x^3+y^3\le1\) có thể xảy ra dấu "="
We have:
\(x^{^3}+y^3=\left(x^3+\frac{1}{2}x\right)+\left(y^3+\frac{1}{2}y\right)-\frac{1}{2}\left(x+y\right)\ge\sqrt{2}\left(x^2+y^2\right)-\frac{1}{2}\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
Dau '=' xay ra khi \(x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
Tu gia thuyet we have:
\(0\le x,y\le1\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\left(x-1\right)\le0\\y\left(y-1\right)\le0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2\le x\\y^2\le y\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x^3+y^3\le x^2+y^2=1\)
Dau '=' xay ra khi \(\left(x;y\right)=\left(1;0\right)=\left(0;1\right)\)
Đầu tiên CM BDT :
\(1+x^3+y^3\ge xy"x+y+z"\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3\ge xy"x+y"\)" do \(xyz=1\)"
\(\Leftrightarrow"x+y""x^2+y^2-xy"-xy"x+y"\ge0\)
\(\Leftrightarrow"x+y""x-y"^2\ge0\)
BDT luôn đúng theo gt
\(\Rightarrow\sqrt{"1+x^3+y^3"}\ge\sqrt{xy"x+y+z"}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{"1+x^3+y^3}{xy}}\ge\sqrt{\frac{"x+y+z"}{xz}}\)
Tương tự
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{"1+z^3+y^3}{zy}}\ge\sqrt{\frac{"x+y+z"}{zy}}\)
\(\sqrt{\frac{"1+x^3+y^3"}{xz}}\ge\sqrt{\frac{"x+y+z"}{xz}}\)
\(\Rightarrow VT\ge\sqrt{"x+y+z"}.\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{zx}}\)
AD BDT Cauchy cho các số > 0
\(x+y+z\ge3\). \(\sqrt[3]{xyz}=3\)
\(\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{zx}}\ge\frac{3}{\sqrt[3]{xyz}}=3\)
\(\Rightarrow VT\ge\sqrt{3}.3=3\sqrt{3}=VP\)
\(\Rightarrow VT\ge VP\)
\(\Rightarrow DPCM\)
Vậy Dấu \(= khi x=y=z=1\)
P/s: Thay dấu noặc kép thành ngọc đơn nha, Ko chắc đâu
Từ giả thiết:\(x+y+z=xyz\Leftrightarrow\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=1\)
Đặt \(\frac{1}{x}=a,\frac{1}{y}=b,\frac{1}{z}=c\)\(\Rightarrow ab+bc+ca=1\)
Ta có:\(\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+z^2}}\)\(=\sqrt{\frac{1}{1+x^2}}+\sqrt{\frac{1}{1+y^2}}+\sqrt{\frac{1}{1+z^2}}\)
\(=\sqrt{\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}+x}}+\sqrt{\frac{\frac{1}{y}}{\frac{1}{y}+y}}+\sqrt{\frac{\frac{1}{z}}{\frac{1}{z}+z}}\)\(=\sqrt{\frac{a}{a+\frac{1}{a}}}+\sqrt{\frac{b}{b+\frac{1}{b}}}+\sqrt{\frac{c}{c+\frac{1}{c}}}\)
\(=\frac{a}{\sqrt{a^2+1}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+1}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+1}}\)
Đến đây:\(\frac{a}{\sqrt{a^2+1}}=\frac{a}{\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}=\frac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\)
\(=\sqrt{\frac{a}{a+b}.\frac{a}{a+c}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}\right)\)
Tương tự:\(\frac{b}{\sqrt{b^2+1}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{b}{b+a}+\frac{b}{b+c}\right);\frac{c}{\sqrt{c^2+1}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{c}{c+a}+\frac{c}{c+b}\right)\)
Cộng 3 bất đẳng thức lại ta có điều phải chứng minh :))
Ta có: \(x^2+y^2=1\)
\(\Rightarrow0\le x,y\le1\)
\(\Rightarrow x^3\le x^2;y^3\le y^2\)
\(\Rightarrow x^3+y^3\le x^2+y^2=1\) \((1)\)
Theo BĐT Cô-si ta có:
\(x^3+x^3+\frac{1}{2\sqrt{2}}\ge3x^2.\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(y^3+y^3+\frac{1}{2\sqrt{2}}\ge3y^2.\frac{1}{\sqrt{2}}\)
Cộng vế: \(\Rightarrow2\left(x^3+y^3\right)+\frac{1}{\sqrt{2}}\ge3\left(x^2+y^2\right)\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow2\left(x^3+y^3\right)\ge\frac{2}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow x^3+y^3\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\left(2\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{2}}\le x^3+y^3\le1\)
Từ giả thiết ta có: \(\hept{\begin{cases}0\le x\le1\\0\le y\le1\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^3\le x^2\\y^3\le y^2\end{cases}}\Rightarrow x^3+y^3\le x^2+y^2=1\left(1\right)\)
Lại có: \(\left(x+y\right)^2\le2\left(x^2+y^2\right)=2\)
\(\Rightarrow x+y\le\sqrt{2}\)
\(1=\left(x^2+y^2\right)^2=\left(\sqrt{x}.\sqrt{x^3}+\sqrt{y}.\sqrt{y^3}\right)\le\left(x+y\right)\left(x^3+y^3\right)\le\sqrt{2}\left(x^3+y^3\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{2}}\le\left(x^2+y^2\right)\left(2\right)\)
Từ: \(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{2}}\le x^3+y^3< 1\left(đpcm\right)\)