Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng bđt AM-GM ta có:
\(x+\frac{1}{x}\ge2\sqrt{x.\frac{1}{x}}=2\)
\(\Rightarrow\left(x+\frac{1}{x}\right)^2\ge4\)
CMTT \(\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\ge4\)
\(\Rightarrow\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\ge4\left(dpcm\right)\)
Dấu"="xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=1\)
- Áp dụng BĐT cauchuy ta có :
\(\left\{{}\begin{matrix}x+\frac{1}{y}\ge2\sqrt{\frac{x}{y}}\\y+\frac{1}{z}\ge2\sqrt{\frac{y}{z}}\\z+\frac{1}{x}\ge2\sqrt{\frac{z}{x}}\end{matrix}\right.\)
- Nhân 3 vế trên lại ta được :
\(\left(x+\frac{1}{y}\right)\left(y+\frac{1}{z}\right)\left(z+\frac{1}{x}\right)\ge2\sqrt{\frac{x}{y}}.2\sqrt{\frac{y}{z}}.2\sqrt{\frac{z}{x}}\)
Mà \(2\sqrt{\frac{x}{y}}.2\sqrt{\frac{y}{z}}.2\sqrt{\frac{z}{x}}=8\sqrt{\frac{x.y.z}{y.z.x}}=8.1=8\)
=> \(\left(x+\frac{1}{y}\right)\left(y+\frac{1}{z}\right)\left(z+\frac{1}{x}\right)\ge8\) ( đpcm )
1) Biến đồi tương đương:
\(\left(x^2+y^2\right)^2\ge8\left(x-y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2\right)^2\ge8xy\left(x-y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-4xy+y^2\right)^2\ge0\)(đúng)
2) Sửa đề: \(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{2}{1+xy}\left(\text{với }xy\ge1\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-y\right)^2\left(xy-1\right)}{\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)\left(xy+1\right)}\ge0\) (đúng)
Áp dụng BĐT : ( a + b + c )2 \(\ge\)3 ( ab + bc + ac )
Ta có : \(\frac{\left(x+y+1\right)^2}{xy+y+x}\ge\frac{3\left(xy+y+x\right)}{xy+y+x}=3\)
đặt \(\frac{\left(x+y+1\right)^2}{xy+y+x}=A\)
ta có : \(A+\frac{1}{A}=\frac{8A}{9}+\frac{A}{9}+\frac{1}{A}\ge\frac{8.3}{9}+2\sqrt{\frac{A}{9}.\frac{1}{A}}=\frac{8}{3}+\frac{2}{3}=\frac{10}{3}\)
Ta có \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
=> \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)=> \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ac\right)\)
Áp dụng ta được
\(\left(x+y+1\right)^2\ge3\left(x+y+xy\right)\)=> \(\frac{\left(x+y+1\right)^2}{xy+y+x}\ge3\)
Đặt \(\frac{\left(x+y+1\right)^2}{x+y+xy}=t\)(\(t\ge3\))
Khi đó
\(VT=t+\frac{1}{t}=\left(\frac{t}{9}+\frac{1}{t}\right)+\frac{8}{9}t\ge\frac{2}{3}+\frac{8}{9}.3=\frac{10}{3}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}t=3\\x=y=1\end{cases}}\)=> x=y=1
Lưu ý
Nhiều người sẽ nhầm \(VT\ge2\)
Khi đó dấu bằng \(\left(x+y+1\right)^2=xy+x+y\)không xảy ra
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)
\(\frac{yz}{xyz}+\frac{xz}{xyz}+\frac{xy}{xyz}=0\)
\(\frac{yz+xz+xy}{xyz}=0\)
yz + xz + xy = 0
\(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz=x^2+y^2+z^2+2\times\left(xy+xz+yz\right)=x^2+y^2+z^2+2\times0=x^2+y^2+z^2\left(\text{đ}pcm\right)\)
a) Từ giả thiết suy ra: xy + yz + zx = 0
Do đó:
\(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)=x^2+y^2+z^2\)
b) Đặt \(\frac{1}{a-b}=x\); \(\frac{1}{b-c}=y\); \(\frac{1}{c-a}=z\)
Ta có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=a-b+b-c+c-a=0\)
Theo câu a ta có: \(x^2+y^2+z^2=\left(x+y+z\right)^2\)
Suy ra điều phải chứng minh
\(\left(xy+\frac{1}{xy}\right)^2-\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(y+\frac{1}{y}\right)\left(xy+\frac{1}{xy}\right)\)
\(=\left(xy+\frac{1}{xy}\right)\left[\left(xy+\frac{1}{xy}\right)-\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(y+\frac{1}{y}\right)\right]\)
\(=\left(xy+\frac{1}{xy}\right)\left(xy+\frac{1}{xy}-xy-\frac{x}{y}-\frac{y}{x}-\frac{1}{xy}\right)\)
\(=\left(xy+\frac{1}{xy}\right)\left(-\frac{x}{y}-\frac{y}{x}\right)\)
\(=-\left(xy+\frac{1}{xy}\right)\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)=-\left(x^2+y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)\)
\(-\left(x^2+y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)+\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\)
\(=4\)
Vậy giá trị bt ko phụ thuộc vào biến
bn có thể giải thích rõ hơn tại sao lại bằng 4 được không? Dù gì thì cx cảm ơn bn đã tl câu hỏi của mk
a) y(x2-y2)(x2+y2)-y(x4-y4)=y[(x2)2-(y2)2] - y(x4-y4)=y(x4-y4)-y(x4-y4)=0
vậy giá trị biểu thức không phụ thuộc vào biến (đpcm)
b) \(\left(\frac{1}{3}+2x\right)\left(4x^2-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}\right)-\left(8x^3-\frac{1}{27}\right)\)
\(=\left[\left(2x\right)^3+\left(\frac{1}{3}\right)^3\right]-\left(8x^3-\frac{1}{27}\right)=8x^3+\frac{1}{27}-8x^3+\frac{1}{27}=\frac{1}{54}\)
vậy giá trị biểu thức không phụ thuộc vào biến (đpcm)
c) (x - 1)^3 - (x - 1)(x^2 + x + 1) - 3(1 - x)x
= (x - 1)(x^2 + x + 1) - (x - 1)(x^2 + x + 1) - 3x(1 - x)
= x^3 - 3x^2 + 3x - 1 - x^3 + 1 - 3x + 3x^2
= 0 (đpcm)
bài này dễ mà
bạn bỏ ngoặc ra nó ntn này
(x+1/x)^2+(y+1/y)^2=x^2+2+1/x^2+y^2+2+1/y^2=x^2+1/x^2+y^2+1/y^2+4(bạn chứng minh x^2+1/x^2 luôn lớn hơn hoặc bằng 2 như sau x^2+1/x^2-2=x^4+1-2x^2/x^2=(x^2+1)^2/X^2 luôn lớn hơn hoặc bằng 0 vậy x^2+1/x^2 luôn lớn hơn hoặc bằng 2 chứng minh tương tự với y^2+1/y^2 nha bạn) vậy suy ra ĐPCM