Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1) Biến đồi tương đương:
\(\left(x^2+y^2\right)^2\ge8\left(x-y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2\right)^2\ge8xy\left(x-y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-4xy+y^2\right)^2\ge0\)(đúng)
2) Sửa đề: \(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{2}{1+xy}\left(\text{với }xy\ge1\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-y\right)^2\left(xy-1\right)}{\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)\left(xy+1\right)}\ge0\) (đúng)
Tiện tay chém trước vài bài dễ.
Bài 1:
\(VT=\Sigma_{cyc}\sqrt{\frac{a}{b+c}}=\Sigma_{cyc}\frac{a}{\sqrt{a\left(b+c\right)}}\ge\Sigma_{cyc}\frac{a}{\frac{a+b+c}{2}}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)
Nhưng dấu bằng không xảy ra nên ta có đpcm. (tui dùng cái kí hiệu tổng cho nó gọn thôi nha!)
Bài 2:
1) Thấy nó sao sao nên để tối nghĩ luôn
2)
c) \(VT=\left(a-b+1\right)^2+\left(b-1\right)^2\ge0\)
Đẳng thức xảy ra khi a = 0; b = 1
Ta có:
\(\left(x-y\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2\ge2xy\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2\ge\left(x+y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\)
Dấu "=" khi \(x=y\)
Áp dụng:
\(x^4+y^4\ge\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{2}\ge\frac{\left(\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\right)^2}{2}=\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^2}{2}=\frac{1}{8}\)
Dấu = khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
Thôi em không cần bài này nữa đâu mọi người :) em biết làm rồi :) //chờ mãi chả ai làm giúp :(( buồn mọi người ghia ớ :'( //
\(x^2+3xy+4y^2+1=\left(x^2+2.x.\frac{3}{2}y+\frac{9}{4}y^2\right)+\frac{7}{4}y^2+1\)
\(=\left(x+\frac{3}{2}y\right)^2+\frac{7}{4}y^2+1\)
Vì \(\left(x+\frac{3}{2}y\right)^2\ge0;\frac{7}{4}y^2\ge0\) nên \(\left(x+\frac{3}{2}y\right)^2+\frac{7}{4}y^2\ge0\)
\(\Rightarrow\left(x+\frac{3}{2}y\right)^2+\frac{7}{4}y^2+1\ge1>0\)(đpcm)
Giả sử a=1;b=1 \(\Rightarrow\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{1}{1}-\frac{1}{1}>2\)
\(\Rightarrow\) Đề sai.nếu đề là \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) thì:
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)(*luôn đúng*)