TN
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
KN
5 tháng 6 2020
Ta có BĐT sau: \(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\)(*)
Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\le2a^2+2b^2\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)(đúng)
Áp dụng, ta được: \(\left(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{2x}\right)^2\le2\left(x^2+1+2x\right)=2\left(x+1\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{x^2+1}+\sqrt{2x}\le\sqrt{2}\left(x+1\right)\)(1)
Tương tự, ta có: \(\sqrt{y^2+1}+\sqrt{2y}\le\sqrt{2}\left(y+1\right)\)(2); \(\sqrt{z^2+1}+\sqrt{2z}\le\sqrt{2}\left(z+1\right)\)(3)
Theo BĐT Cauchy-Schwarz, ta được: \(\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)^2\le\left(1+1+1\right)\left(x+y+z\right)\)
\(\Rightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\le\sqrt{3\left(x+y+z\right)}\)
\(\Rightarrow\left(2-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\le\left(2-\sqrt{2}\right)\sqrt{3\left(x+y+z\right)}\)(Nhân 2 vế của bất đẳng thức với \(2-\sqrt{2}>0\)) (4)
Cộng theo vế của 4 BĐT (1), (2), (3), (4), ta được:
\(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1}+\left(\sqrt{2x}+\sqrt{2y}+\sqrt{2z}\right)\)\(+2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)-\left(\sqrt{2x}+\sqrt{2y}+\sqrt{2z}\right)\)\(\le\sqrt{2}\left(x+y+z+3\right)+\left(2-\sqrt{2}\right)\sqrt{3\left(x+y+z\right)}\)
\(\le6\sqrt{2}+\left(2-\sqrt{2}\right).3=6+3\sqrt{2}\)(Do theo giả thiết thì \(x+y+z\le3\))
hay \(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1}+2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\le6+3\sqrt{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là \(6+3\sqrt{2}\), đạt được khi x = y = z = 1
22 tháng 7 2019
1) \(\frac{1}{2}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)\(\Leftrightarrow\)\(x+y\ge8\)
\(\frac{1}{2}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{xy}\)\(\Leftrightarrow\)\(xy=2\left(x+y\right)\ge16\)
\(A=\sqrt{x}+\sqrt{y}\ge2\sqrt[4]{xy}\ge2\sqrt[4]{16}=4\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=4\)
2) \(B=\sqrt{3x-5}+\sqrt{7-3x}\ge\sqrt{3x-5+7-3x}=\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\orbr{\begin{cases}x=\frac{5}{3}\\x=\frac{7}{3}\end{cases}}\)
\(B=\sqrt{3x-5}+\sqrt{7-3x}\le\frac{3x-5+1+7-3x+1}{2}=2\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=2\)
PT
0
VT
21 tháng 7 2018
sửa đwf là xy+yz+zx=1 nhá !
Thay 1=xy+yz+zx vào, ta có
\(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}+x}=\frac{x}{\sqrt{x^2+xy+yz+zx}+x}=\frac{x}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+x}\)
Áp dụng BĐT bu-nhi-a, ta có
\(\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\ge\sqrt{xy}+\sqrt{xz}\Rightarrow\frac{x}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+x}\le\frac{x}{\sqrt{xy}+\sqrt{xz}+x}\) =\(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)
tương tự rồi cộng lại, ta có
\(A\le\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{y}}=1\)
dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
^_^
26 tháng 11 2016
\(Q=x\sqrt{x}+y\sqrt{y}=\left(\sqrt{x}\right)^3+\left(\sqrt{y}\right)^3=\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(x+y-\sqrt{xy}\right)\)
\(=x+y-\sqrt{xy}\)
Đặt \(a=\sqrt{x},b=\sqrt{y}\) (\(a,b\ge0\))
Ta đưa bài toán trở về dạng tìm max và min của biểu thức \(Q=a^2+b^2-ab\) biết \(a+b=1\)
\(Q=\left(a+b\right)^2-3ab\ge\left(a+b\right)^2-\frac{3.\left(a+b\right)^2}{4}=\frac{\left(a+b\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a=b\\a,b\ge0\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{4}\)
Lại có \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=1\Rightarrow\hept{\begin{cases}0\le x\le1\\0\le y\le1\end{cases}}\)
Khi đó ta có \(Q\le1\)
Đẳng thức xảy ra khi x = 0 , y = 1 hoặc x = 1 , y = 0
Vậy : minQ = 1/4 <=> x = y = 1/4
maxQ = 1 <=> (x,y) = (0;1) ; (1;0)
Kiểm tra lại đề. x + y = - 6 thì sẽ tồn tại ít nhất 1 số bé hơn bằng - 2 mà nó làm cho căn không có nghĩa