Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(P=\left(\frac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(1-\sqrt{xy}\right)+\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(1+\sqrt{xy}\right)}{1-xy}\right):\left(\frac{x+y+2xy+1-xy}{1-xy}\right)\)
\(=\left(\frac{2\sqrt{x}+2y\sqrt{x}}{1-xy}\right):\left(\frac{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}{1-xy}\right)\)
\(=\frac{2\sqrt{x}\left(y+1\right)}{\left(1-xy\right)}.\frac{\left(1-xy\right)}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}=\frac{2\sqrt{x}}{x+1}\)
\(x=\frac{2}{2+\sqrt{3}}=\frac{2\left(2-\sqrt{3}\right)}{4-3}=4-2\sqrt{3}=\left(\sqrt{3}-1\right)^2\Rightarrow\sqrt{x}=\sqrt{3}-1\)
\(\Rightarrow P=\frac{2\left(\sqrt{3}-1\right)}{5-2\sqrt{3}}=\frac{2+6\sqrt{3}}{13}\)
Ta có \(1-P=1-\frac{2\sqrt{x}}{x+1}=\frac{x-2\sqrt{x}+1}{x+1}=\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{x+1}\ge0\) \(\forall x\ge0\)
\(\Rightarrow1-P\ge0\Rightarrow P\le1\)
Đặt \(P=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{x+y}=x+y+\frac{2}{x+y}\) (do \(xy=1\) )
Khi đó, ta có thể biến đổi biểu thức \(P\) quay về dạng có thể dùng bđt \(AM-GM\) hay nói cách khác, đây là số mệnh của nó đã được an bài đằng sau cách cửa biết nói.
\(P=\left[\left(x+y\right)+\frac{4}{x+y}\right]-\frac{2}{x+y}\ge2\sqrt{\left(x+y\right).\frac{4}{\left(x+y\right)}}=4-\frac{2}{x+y}\)
Mặt khác, do \(x+y\ge2\sqrt{xy}=2\) (theo bđt \(AM-GM\) cho hai số thực \(x,y\)không âm)
nên \(-\frac{1}{x+y}\ge-\frac{1}{2}\) hay nói cách khác, \(-\frac{2}{x+y}\ge-1\)
Do đó, \(P\ge4-1=3\) (đpcm)
Dấu \("="\) xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}x,y>0\\xy=1\\x=y\end{cases}\Leftrightarrow}\) \(x=y=1\)
(*) CM BĐT : \(2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\) ( biến đổi tương đương là được )
Áp dụng :
\(2\left[\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\right]\ge\left(x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}\right)^2\)
TA có : \(x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}=4x+\frac{1}{x}+4y+\frac{1}{y}-3\left(x+y\right)\)
\(\ge4+4-3=5\) ( theo cô - si )
=> 2\(2\left[\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\right]\ge25\) => ĐPCM
Dấu '' = '' xảy ra khi x = y= 0,5
\(\left(1\right)\Rightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x}-\sqrt{y}=\frac{1}{\sqrt{z}}-\frac{1}{\sqrt{y}}=\frac{\sqrt{y}-\sqrt{z}}{\sqrt{xy}}\\\sqrt{y}-\sqrt{z}=\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{z}}=\frac{\sqrt{z}-\sqrt{x}}{\sqrt{xz}}\\\sqrt{z}-\sqrt{x}=\frac{1}{\sqrt{y}}-\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt{xy}}\end{cases}\left(2\right)}\)
\(\left(2\right)\Rightarrow\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right).\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right).\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)=\frac{\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right).\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right).\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}{\sqrt{zyzxxy}}\left(3\right)\)\(Từ\left(3\right)\)Ta sẽ chứng minh được rằng \(\orbr{\begin{cases}x=y=z\\x.y.z=1\end{cases}}\)
xét BĐT \(2ab\le a^2+b^2=>\frac{a.b}{1}=a.b\le\frac{a^2+b^2}{2}\left(a,b>0\right)\)
Áp dụng , ta có
\(\frac{2}{xy}+\frac{3}{x^2+y^2}\ge\frac{2}{\frac{x^2+y^2}{2}}+\frac{3}{x^2+y^2}=\frac{4}{x^2+x^2}+\frac{3}{x^2+y^2}=\frac{7}{x^2+y^2}\)
áp dụng BĐT bunhia có
\(\left(ax+by\right)^2\le\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\left(\forall a,b,x,y>0\right)\)
Zậy
\(\left(x+y\right)^2=1\le\left(1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2\right)=2\left(x^2+y^2\right)\)
hay \(\frac{1}{2}\le x^2+y^2\)
zậy
\(\frac{2}{xy}+\frac{3}{x^2+y^2}\ge\frac{2}{\frac{x^2+y^2}{2}}+\frac{3}{x^2+y^2}=\frac{7}{x^2+y^2}\ge\frac{7}{\frac{1}{2}}=14\left(dpcm\right)\)
dấu "=" xảy ra khi zà chỉ khi x=y=1/2
Sử dụng bđt \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\left(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\right)^2\ge3\left(\frac{xy}{z}.\frac{yz}{x}+\frac{yz}{x}.\frac{zx}{y}+\frac{zx}{y}.\frac{xy}{z}\right)=3\left(x^2+y^2+z^2\right)=3\)
\(\Rightarrow\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\ge\sqrt{3}\)
Bài 1:
Theo BĐT AM-GM có :$(x+y+1)(x^2+y^2)+\dfrac{4}{x+y}\geq (x+y+1).2xy+\dfrac{4}{x+y}=2(x+y+1)+\dfrac{4}{x+y}=(x+y)+(x+y)+\dfrac{4}{x+y}+2\geq 2\sqrt{xy}+2\sqrt{(x+y).\dfrac{4}{x+y}}+2=2+4+2=8$(đpcm)
Dấu \(=\) xảy ra khi \(x=y, xy=1\) và \(x+y=2\) hay \(x=y=1\)
Bài 1:
Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương:
\(x^2+y^2\geq 2xy=2\Rightarrow (x+y+1)(x^2+y^2)+\frac{4}{x+y}\geq 2(x+y+1)+\frac{4}{x+y}(1)\)
Tiếp tục áp dụng BĐT Cô-si:
\(2(x+y+1)+\frac{4}{x+y}=(x+y+2)+[(x+y)+\frac{4}{x+y}]\)
\(\geq (2\sqrt{xy}+2)+2\sqrt{(x+y).\frac{4}{x+y}}=(2+2)+4=8(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow (x+y+1)(x^2+y^2)+\frac{4}{x+y}\geq 8\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=1$
Đặt \(A=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{x+y}\)
Ta có :\(A=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{x+y}=\frac{xy}{x}+\frac{xy}{y}+\frac{2}{x+y}\)(Do \(xy=1\))
\(=x+y+\frac{2}{x+y}\)
\(=\frac{x+y}{2}+\frac{x+y}{2}+\frac{2}{x+y}\)
Đặt \(B=\frac{x+y}{2};C=\frac{x+y}{2}+\frac{2}{x+y}\)
\(\Rightarrow A=B+C\)
Do x,y>0 nên ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy
\(\Rightarrow B=\frac{x+y}{2}\ge\sqrt{xy}=\sqrt{1}=1\)(1)
Ta có: \(x,y>0\Rightarrow x+y>0\)
Ta áp dụng bất đẳng thức \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\) với hai số dương x+y và 2
\(\Rightarrow C=\frac{x+y}{2}+\frac{2}{x+y}\ge2\)(2)
Từ (1) và (2)\(\Rightarrow B+C=\frac{x+y}{2}+\frac{x+y}{2}+\frac{2}{x+y}\ge1+2\)
\(\Rightarrow A\ge3\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{x+y}\ge3\left(ĐPCM\right)\)