Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1) \(A=x^2+y^2=\left(x+y\right)^2-2xy\)
Do \(x+y=1\)nên \(A=1-2xy\)
Xài Cosi ngược: \(2xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\)\(\Rightarrow A=1-2xy\ge1-\frac{\left(x+y\right)^2}{2}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow A\ge\frac{1}{2}\). Vậy Min A = 1/2. Đẳng thức xảy ra <=> \(x=y=\frac{1}{2}\).
\(x^2+y^3+y^2\ge x^3+y^4+y^2\ge x^3+2y^3\Rightarrow x^2+y^2\ge x^3+y^3\)
Lại có \(\left(x^2+y^2\right)^2=\left(\sqrt{x}.\sqrt{x^3}+\sqrt{y}\sqrt{y^3}\right)^2\le\left(x+y\right)\left(x^3+y^3\right)\)
\(\Rightarrow\left(x^2+y^2\right)^2\le\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)\Rightarrow x^2+y^2\le x+y\)
\(\Rightarrow\left(x^2+y^2\right)^2\le\left(x+y\right)^2\le2\left(x^2+y^2\right)\)
\(\Rightarrow x^2+y^2\le2\Rightarrow x^3+y^3\le2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=1\)
Ta có:\(\frac{x-y}{x+y}< \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+y^2\right)< \left(x+y\right)\left(x^2-y^2\right)\)
\(\Leftrightarrow x^3+xy^2-yx^2-y^3< x^3+x^2y-y^2x-y^3\)
\(\Leftrightarrow xy^2-yx^2< x^2y-y^2x\)
\(\Rightarrow2xy^2< 2yx^2\)
\(\Rightarrow y< x\)(luôn đúng)
Vậy \(\frac{x-y}{x+y}< \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\)
\(\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}>\frac{x-y}{x+y}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}-\frac{x-y}{x+y}>0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x^2-y^2\right)\left(x+y\right)-\left(x-y\right)\left(x^2+y^2\right)}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}>0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-y\right)\left(x+y\right)^2-\left(x-y\right)\left(x^2+y^2\right)}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}>0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-y\right)\left(x^2+y^2+2xy-x^2-y^2\right)}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}>0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-y\right)2xy}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}>0\)( luôn đúng vì x>y>0)
\(\Rightarrow\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}>\frac{x-y}{x+y}\)
đpcm
Do \(x>y>0\) nên \(x+y\ne0.\) Theo tính chất cơ bạn của phân thức ta có :
\(\frac{x-y}{x+y}=\frac{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}{\left(x+y\right)\left(x+y\right)}=\frac{x^2-y^2}{x^2+2xy+y^2}\left(1\right).\)
Mặt khác , do \(x,y>0\) nên \(x^2+2xy+y^2>x^2+y^2\)
Vậy \(\frac{x^2-y^2}{x^2+2xy+y^2}< \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\left(2\right)\).Từ \(\left(1\right),\left(2\right)\Leftrightarrow\frac{x-y}{x+y}< \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\)