Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\((x-1)+1\geq 2\sqrt{x-1}\Leftrightarrow \frac{x}{2}\geq \sqrt{x-1}\)
\(\Rightarrow yz\sqrt{x-1}\leq \frac{xyz}{2}\)
\((y-4)+4\geq 4\sqrt{y-4}\) \(\Leftrightarrow \frac{y}{4}\geq \sqrt{y-4}\)
\(\Rightarrow zx\sqrt{y-4}\leq \frac{xyz}{4}\)
\((z-9)+9\geq 6\sqrt{z-9}\Leftrightarrow \frac{z}{6}\geq \sqrt{z-9}\)
\(\Rightarrow xy\sqrt{z-9}\leq \frac{xyz}{6}\)
Do đó:
\(Q\leq \frac{\frac{xyz}{2}+\frac{xyz}{4}+\frac{xyz}{6}}{xyz}=\frac{xyz.\frac{11}{12}}{xyz}=\frac{11}{12}\)
Vậy \(Q_{\max}=\frac{11}{12}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} x-1=1\\ y-4=4\\ z-9=9\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=2; y=8; z=18\)
ĐKXĐ \(x,y\ge0\)
Ta có \(x^3+y^3+xy-x^2-y^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)-\left(x^2-xy+y^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y-1\right)\left(x^2-xy+y^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x+y-1=0\)
\(\Leftrightarrow x+y=1\)
Mà x,y\(\ge0\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}0\le x\le1\\0\le y\le1\end{cases}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}0\le\sqrt{x}\le1\\0\le\sqrt{y}\le1\end{cases}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}1\le1+\sqrt{x}\le2\\\frac{1}{2}\ge\frac{1}{2+\sqrt{y}}\ge\frac{1}{3}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow1\ge P\ge\frac{1}{3}\)
Nhận thấy p\(=\frac{1}{3}\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}x=0\\y=1\end{cases}}\)(thỏa mãn)
Nhận thấy P\(=1\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=0\end{cases}}\)(thỏa mãn)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}\hept{\begin{cases}x\ge0\\y\le1\end{cases}}\\\hept{\begin{cases}x\le1\\y\ge0\end{cases}}\end{cases}}\)
Theo em bài này chỉ có min thôi nhé!
Rất tự nhiên để khử căn thức thì ta đặt \(\left(\sqrt{x};\sqrt{y};\sqrt{z}\right)=\left(a;b;c\right)\ge0\)
Khi đó \(M=\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\) với abc = \(\sqrt{xyz}=1\) và a,b,c > 0
Dễ thấy \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\)
(chuyển vế qua dùng hằng đẳng thức là xong liền hà)
Do đó \(2M=\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3+c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3+a^3}{c^2+ca+a^2}\)
Đến đây thì chứng minh \(\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{1}{3}\left(a+b\right)\Leftrightarrow\frac{2}{3}\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\)(đúng)
Áp dụng vào ta thu được: \(2M\ge\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)\Rightarrow M\ge\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)\ge\sqrt[3]{abc}=1\)
Vậy...
P/s: Ko chắc nha!
\(P=\frac{1}{\sqrt{x}+1}+\frac{10}{2\sqrt{x}+1}-\frac{5}{2x+3\sqrt{x}+1}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{x}+1}+\frac{10}{2\sqrt{x}+1}-\frac{5}{\left(2\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)
\(=\frac{2\sqrt{x}+1+10\left(\sqrt{x}+1\right)-5}{\left(2\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)
\(=\frac{2\sqrt{x}+1+10\sqrt{x}+10-5}{\left(2\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)
\(=\frac{6}{\sqrt{x}+1}\)
b) Để P nguyên tố thì \(\frac{6}{\sqrt{x}+1}\) nguyên tố
Để \(P\inℕ^∗\) thì \(\sqrt{x}+1\inƯ\left(6\right)\)
Mà P nguyên tố \(\Rightarrow\frac{6}{\sqrt{x}+1}=\left\{2;3\right\}\Rightarrow\sqrt{x}+1=\left\{2;3\right\}\)
Với \(\sqrt{x}+1=2\Leftrightarrow\sqrt{x}=1\Leftrightarrow x=1\)
Với \(\sqrt{x}+1=3\Leftrightarrow\sqrt{x}=2\Leftrightarrow x=4\)
Vậy ...........
pt\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{x-1}}{x}+\frac{\sqrt{y-4}}{y}\)
Áp dụng BĐT cô si cho 2 số ko âm ta có:
\(\sqrt{x-1}=\sqrt{1\left(x-1\right)}\le\frac{x+1-1}{2}=\frac{x}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{\sqrt{x-1}}{x}\le\frac{1}{2}\)(vì x dương)
\(\sqrt{y-4}=\frac{1}{2}\sqrt{4\left(y-4\right)}\le\frac{1}{2}.\frac{4+y-4}{2}=\frac{y}{4}\)
\(\Rightarrow\frac{\sqrt{y-4}}{y}\le\frac{1}{4}\)(vì y dương)
\(\Rightarrow Q=\frac{\sqrt{x-1}}{x}+\frac{\sqrt{y-4}}{y}\le\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\)
Vậy \(Q\)max là \(\frac{3}{4}\)khi \(x=2,y=8\)