Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Nhân 2 vế của pt đầu với \(x-\sqrt{x^2+3}\) đc:
\(y+\sqrt{y^2+3}=\sqrt{x^2+3}-x\)
\(\Rightarrow x+y=\sqrt{x^2+3}-\sqrt{y^2+3}\left(1\right)\)
Tương tự nhân 2 vế của pt đầu với \(y-\sqrt{y^2+3}\) đc:
\(x+y=\sqrt{y^2+3}-\sqrt{x^2+3}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) =>2(x+y)=0
=>x+y=0<=>x=-y
<=>x2013=-y2013
<=>x2013+y2013=0
A=x2013+y2013+1=1
ÁP dụng BĐT AM-GM: \(\sqrt{1+x^3}=\sqrt{\left(1+x\right)\left(1-x+x^2\right)}\le\frac{1}{2}\left(2+x^2\right)\)
thiết lập tương tự và cộng theo vế :\(P\ge\frac{1}{\frac{1}{2}\left(2+x^2\right)}+\frac{1}{\frac{1}{2}\left(2+y^2\right)}=2\left(\frac{1}{x^2+2}+\frac{1}{y^2+2}\right)\)
Áp dụng BĐT cauchy-schwarz:(bunyakovsky dạng phân thức)
\(VT=2\left(\frac{1}{x^2+2}+\frac{1}{y^2+2}\right)\ge\frac{8}{x^2+y^2+4}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}\)
Dấu ''=''xảy ra khi x=y=2
\(\frac{a}{\sqrt{b+c-a}}=\frac{a^2}{\sqrt{a}\sqrt{a}\sqrt{b+c-a}}>\frac{a^2}{\sqrt{\frac{\left(b+c-a+2a\right)^3}{27}}}=\frac{a^2}{\sqrt{\left(a+b+c\right)^3}}\)
ta có: \(\frac{\sqrt{2x^2+y^2}}{xy}=\sqrt{\frac{2}{y^2}+\frac{1}{x^2}}\)
Áp dụng BĐT bunyakovsky:\(\left(2+1\right)\left(\frac{2}{y^2}+\frac{1}{x^2}\right)\ge\left(\frac{2}{y}+\frac{1}{x}\right)^2\)
\(\Rightarrow\frac{2}{y^2}+\frac{1}{x^2}\ge\frac{1}{3}\left(\frac{2}{y}+\frac{1}{x}\right)^2\).....bla bla
\(\left\{{}\begin{matrix}x+2=a^3\\x+1=b^3\\y-3=c^3\\y-4=d^3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b+c+d=0\\a^3-b^3=1\\c^3-d^3=1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+d=-\left(b+c\right)\\a^3+d^3-\left(b^3+c^3\right)=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+d=-\left(b+c\right)\\\left(a+d\right)\left(a^2-ad+d^2\right)=\left(b+c\right)\left(b^2-bc+c^2\right)\end{matrix}\right.\) (1)
TH1: \(a+d=-\left(b+c\right)\ne0\)
Chia vế cho vế 2 pt (1) ta được:
\(a^2-ad+d^2=-\left(b^2-bc+c^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a-\frac{d}{2}\right)^2+\frac{3d^2}{4}+\left(b-\frac{c}{2}\right)^2+\frac{3c^2}{4}=0\)
\(\Leftrightarrow a=b=c=d=0\) (vô nghiệm)
TH2: \(a+d=-\left(b+c\right)=0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-d\\b=-c\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x+2=4-y\Rightarrow x+y=2\)
\(\Rightarrow A=x^2+y^2\ge\frac{1}{2}\left(x+y\right)^2=2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=1\)