Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có \(\frac{1}{1+2x}+\frac{1}{1+2y}+\frac{1}{1+2z}=2\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{1+2x}=1-\frac{1}{1+2y}+1-\frac{1}{1+2z}\\\frac{1}{1+2y}=1-\frac{1}{1+2x}+1-\frac{1}{1+2y}\\\frac{1}{1+2z}=1-\frac{1}{1+2x}+1-\frac{1}{1+2y}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{1+2x}=\frac{2y}{1+2y}+\frac{2z}{1+2z}\\\frac{1}{1+2y}=\frac{2x}{1+2x}+\frac{2y}{1+2y}\\\frac{1}{1+2z}=\frac{2x}{1+2x}+\frac{2y}{1+2y}\end{cases}}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{1+2x}=\frac{2y}{1+2y}+\frac{2z}{1+2z}\ge2\sqrt{\frac{4yz}{\left(1+2y\right)\left(1+2z\right)}}\\\frac{1}{1+2y}=\frac{2x}{1+2x}+\frac{2z}{1+2z}\ge2\sqrt{\frac{4xz}{\left(1+2x\right)\left(1+2z\right)}}\\\frac{1}{1+2z}=\frac{2x}{1+2x}+\frac{2y}{1+2y}\ge2\sqrt{\frac{4xy}{\left(1+2x\right)\left(1+2y\right)}}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\left(1+2x\right)\left(1+2y\right)\left(1+2z\right)}\ge8\sqrt{\frac{64x^2y^2z^2}{\left(1+2x\right)^2\left(1+2y\right)^2\left(1+2x\right)^2}}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\left(1+2x\right)\left(1+2y\right)\left(1+2z\right)}\ge\frac{64xyz}{\left(1+2x\right)\left(1+2y\right)\left(1+2z\right)}\)
\(\Rightarrow1\ge64xyz\)
\(\Rightarrow xyz\le\frac{1}{64}\)( đpcm )
Dấu ' = ' xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{4}\)
Theo đề ta có \(\left(x+\frac{1}{y}\right)\in Z\) và \(\left(y+\frac{1}{x}\right)\in Z\)\(\Rightarrow\)\(\left(x+\frac{1}{y}\right)\left(y+\frac{1}{x}\right)\in Z\)
hay \(\left(xy+\frac{1}{xy}+2\right)\in Z\)\(\Rightarrow\)\(\left(xy+\frac{1}{xy}\right)\in Z\)
Suy ra \(\left(xy+\frac{1}{xy}\right)^2\in Z\)\(\Rightarrow\)\(\left(x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}+2\right)\in Z\)\(\Rightarrow\)\(\left(x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}\right)\in Z\)
Vậy \(x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}\) là số nguyên (đpcm).
Ta có: \(40=5.8,\left(5,8\right)=1\)nên ta sẽ chứng minh \(\left(x^2-y^2\right)⋮8\)và \(\left(x^2-y^2\right)⋮5\).
Giả thiết tương đương với: \(3x^2-2y^2=1\).
- Chứng minh \(\left(x^2-y^2\right)⋮8\).
Dễ thấy \(x\)lẻ nên \(x=2k+1\Rightarrow x^2=4k^2+4k+1=4k\left(k+1\right)+1\equiv1\left(mod8\right)\).
Do đó \(3x^2\equiv3\left(mod8\right)\Leftrightarrow2y^2+1\equiv3\left(mod8\right)\Leftrightarrow y^2\equiv1\left(mod8\right)\).
\(\Rightarrow x^2-y^2⋮8\).
- Chứng minh \(\left(x^2-y^2\right)⋮5\).
Số chính phương khi chia cho \(5\)dư \(0,1,4\)do đó: \(3x^2\equiv0,3,2\left(mod5\right)\), \(2y^2\equiv0,2,3\left(mod5\right)\).
Để \(3x^2-2y^2=1\equiv1\left(mod5\right)\)thì \(3x^2\equiv3\left(mod5\right),2y^2\equiv2\left(mod5\right)\)
khi đó \(x^2\equiv1\left(mod5\right),y^2\equiv1\left(mod5\right)\Rightarrow x^2-y^2⋮5\).
Từ đây ta có đpcm.
anh cho em kết bạn với anh để có thể hỏi cho dễ được không anh,trước giờ anh giúp em nhiều qúa mà em cũng không biết cảm ơn thế nào
Bổ đề: \(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2};\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\forall x,y>0\)
\(\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\ge\frac{\left[\left(x+\frac{1}{x}\right)+\left(y+\frac{1}{y}\right)\right]^2}{2}=\frac{\left(x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\)
\(\ge\frac{\left(1+\frac{4}{x+y}\right)^2}{2}=\frac{\left(1+4\right)^2}{2}=\frac{25}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
(Cứ thấy sao sao?x + y = 1 = > x = y = 1/2)
Với ĐK : x + y = 1 ... , chỉ có x = y = 1/2 (cái nài là STP mà có phải SD đâu??)
Chia làm 2TH
\(N>\frac{25}{2}\); TH2 : \(N=\frac{25}{2}\)
\(N=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\ge\frac{25}{2}\)
\(N=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{\frac{1}{2}}\right)^2+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{\frac{1}{2}}\right)^2\ge\frac{25}{2}\)
\(N=\left(\frac{1}{2}+1\div1\div2\right)^2+\left(\frac{1}{2}+1\div1\div2\right)^2\ge\frac{25}{2}\)
\(N=\left(\frac{1}{2}+1\div2\right)^2+\left(\frac{1}{2}+1\div2\right)^2\ge\frac{25}{2}\)
\(N=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)^2\ge\frac{25}{2}\)
\(N=\left(1\right)^2+\left(1\right)^2\ge\frac{25}{2}\)
\(N=2\ge\frac{25}{2}\)
----------------------------
\(N=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\left(y+\frac{1}{2}\right)^2\ge\frac{25}{2}\)
Tương tự như trên :\(N=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)^2\)
\(N=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)\ge\frac{25}{2}\)
Chẳng khác gì phía trên,mà 25 / 2 = 25 : 2 = 12 , 5 . Lại còn x , y là số dương .
[Trình mình thì chẳng CM được cái này(vì không CM được)]
Mình gợi ý để bạn được người khác giúp nhé. Khi đăng bài bạn nên đăng từng câu. Đừng đăng nhiều câu cùng lúc vì nhìn vô không ai muốn giải hết. Giờ bạn tách ra từng câu đăng lại đi. Sẽ có người giúp đấy
\(a)\)\(x+xy+y=-6\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+1\right)\left(y+1\right)=-5\)
Lập bảng xét TH ra là xong
\(b)\) CM : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow\)\(x^2+2xy+y^2-4xy\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(x-y\right)^2\ge0\) ( luôn đúng )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y\)
Xin thêm 1 slot đi hok về làm cho -,-
\(b)\) CM : \(x^2+y^2\ge\frac{1}{2}\left(x+y\right)^2\)
\(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{1+1}=\frac{1}{2}\left(x+y\right)^2\) ( bđt Cauchy-Schawarz dạng Engel )
Ta có :
\(A=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2+2017\ge\frac{\left(x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}\right)^2}{2}+2017\)
\(\ge\frac{\left(x+y+\frac{4}{x+y}\right)^2}{2}+2017=\frac{\left(2+\frac{4}{2}\right)^2}{2}+2017=2025\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=1\)
Bài này còn có cách khác là sử dụng tính chất tổng 2 phân số nghịch đảo nhau nhá :))
Chúc bạn học tốt ~