Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Theo đề ta suy ra \(y\le1-3x\)
\(\Rightarrow\sqrt{xy}\le\sqrt{x\left(1-3x\right)}\)
Ta có \(A=\frac{1}{x}+\frac{1}{\sqrt{xy}}\ge\frac{1}{x}+\frac{1}{\sqrt{x\left(1-3x\right)}}\ge\frac{1}{x}+\frac{1}{\frac{x+\left(1-3x\right)}{2}}=\frac{2}{2x}+\frac{2}{-2x+1}\)
\(=2\left(\frac{1}{2x}+\frac{1}{-2x+1}\right)\ge2.\frac{\left(1+1\right)^2}{2x-2x+1}=8\)
Vậy \(A\ge8\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}x=1-3x=y\\\frac{1}{2x}=\frac{1}{-2x+1}\\3x+y=1\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\) \(x=y=\frac{1}{4}\)
vì x+y=1\(\Rightarrow\sqrt{1-x}=\sqrt{x+y-x}=\sqrt{y}\)
\(\Rightarrow\frac{x+2y}{\sqrt{1-x}}=\frac{x+y+y}{\sqrt{y}}=\frac{y+1}{\sqrt{y}}=\frac{y+\frac{1}{2}}{\sqrt{y}}+\frac{1}{2\sqrt{y}}\)
ad cau-chy có \(y+\frac{1}{2}\ge2\sqrt{\frac{y}{2}}=\sqrt{2y}\)\(\Rightarrow\frac{x+2y}{\sqrt{1-x}}\ge\sqrt{2}+\frac{1}{2\sqrt{y}}\)
Tương tự .....\(\Rightarrow P\ge2\sqrt{2}+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}\right)\)
cm \(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}\ge\frac{4}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\ge\frac{4}{\sqrt{2\left(x+y\right)}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow P\ge2\sqrt{2}+\frac{1}{2}.2\sqrt{2}=3\sqrt{2}\)
Dấu = xra khi x=y=1/2
k cho mk nha mn ^.^
1.ap dung bdt bunhiacopski
2.Ap dung Bdt can a + can b >= can (a+b) de tim min
Bunhiacopski de tim max
ở xã hội này chỉ có làm mới có ăn những loại không làm mà đòi ăn thì ăn đầu bòi ăn cut nháa
HSG toán 9 Quảng Nam năm 2018-2019
Giải: Từ đẳng thức đã cho suy ra: \(x>\frac{1}{2};y>\frac{1}{2};z>\frac{1}{2}\). Áp dụng (a+b)2 >= 4ab ta có:
\(\left(x+2y\right)^2=\left(\frac{2x+y}{2}+\frac{3y}{2}\right)^2\ge4\cdot\left(\frac{2x+y}{2}\right)\cdot\frac{3y}{2}\)
\(\Rightarrow\left(x+2y\right)^2\ge3y\left(2x+y\right)\). Dấu "=" xảy ra <=> x=y
\(\Rightarrow\frac{2x+y}{x+2y}\le\frac{x+2y}{3y}\Rightarrow\frac{2x+y}{x\left(x+2y\right)}\le\frac{1}{3}\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}\right)\)
Tương tự \(\hept{\begin{cases}\frac{2y+z}{y\left(y+2z\right)}\le\frac{1}{3}\left(\frac{2}{y}+\frac{1}{z}\right)\\\frac{2z+x}{z\left(z+2x\right)}\le\frac{1}{3}\left(\frac{2}{z}+\frac{1}{x}\right)\end{cases}}\)
\(\Rightarrow A\le\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\left("="\Leftrightarrow x=y=z\right)\)
Ta có \(\sqrt{\left(2x-1\right)\cdot1}\le\frac{\left(2x-1\right)+1}{2}\Rightarrow\sqrt{2x-1}\le2\Rightarrow\frac{1}{x}\le\frac{1}{\sqrt{2x-1}}\)
Tương tự \(\frac{1}{y}\le\frac{1}{\sqrt{2y-1}},\frac{1}{z}\le\frac{1}{\sqrt{2z-1}}\)Do đó:
\(A\le\frac{1}{\sqrt{2x-1}}+\frac{1}{\sqrt{2y-1}}+\frac{1}{\sqrt{2z-1}}=3\)
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z=1
Vậy GTLN của A=3 đạt được khi x=y=z=1
Ta có \(\left(2x^2+y^2+3\right)\left(2+1+3\right)\ge\left(2x+y+3\right)^2\)
=> \(\frac{1}{\sqrt{2x^2+y^2+3}}\le\frac{\sqrt{6}}{2x+y+3}\)
Mà \(\frac{1}{2x+y+3}=\frac{1}{x+x+y+1+1+1}\le\frac{1}{36}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+3\right)\)
=> \(\frac{1}{\sqrt{2x^2+y^2+3}}\le\frac{\sqrt{6}}{36}\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}+3\right)\)
Khi đó
\(P\le\frac{\sqrt{6}}{36}\left(\frac{3}{x}+\frac{3}{y}+\frac{3}{z}+9\right)=\frac{\sqrt{6}}{36}.18=\frac{\sqrt{6}}{2}\)
Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1
Vậy \(MaxP=\frac{\sqrt{6}}{2}\)khi x=y=z=1
Theo giả thiết, ta có: \(\frac{x}{1+x}+\frac{2y}{1+y}=1\Leftrightarrow\frac{2y}{1+y}=1-\frac{x}{1+x}=\frac{1}{x+1}\)\(\Leftrightarrow2y\left(x+1\right)=y+1\Leftrightarrow2xy^2=-y^2+y=-\left(y-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\le\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow xy^2\le\frac{1}{8}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)