Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 1
Từ giả thiết, bình phương 2 vế, ta được:
\(x^2y^2+\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)+2xy\sqrt{x^2+1}\sqrt{y^2+1}=2015\)
\(\Leftrightarrow2x^2y^2+x^2+y^2+2xy\sqrt{x^2+1}\sqrt{y^2+1}=2014.\)
\(A^2=x^2\left(y^2+1\right)+y^2\left(x^2+1\right)+2x\sqrt{y^2+1}.y\sqrt{x^2+1}\)
\(=2x^2y^2+x^2+y^2+2xy\sqrt{x^2+1}.\sqrt{y^2+1}\)
\(=2014\)
\(\Rightarrow A=\sqrt{2014}.\)
Bài 2:
Đặt \(\sqrt{2015}=a>0\)
\(\left(x+\sqrt{x^2+a}\right)\left(y+\sqrt{y^2+a}\right)=a\text{ }\left(1\right)\)
Do \(\sqrt{y^2+a}-y>\sqrt{y^2}-y=\left|y\right|-y\ge0\) nên ta nhân cả 2 vế với \(\sqrt{y^2+a}-y\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(x+\sqrt{x^2+a}\right)\left[\left(y^2+a\right)-y^2\right]=a.\left(\sqrt{y^2+a}-y\right)\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2+a}+x=\sqrt{y^2+a}-y\)
Tương tự ta có: \(\sqrt{y^2+a}+y=\sqrt{x^2+a}-x\)
Cộng theo vế 2 phương trình trên, ta được \(x+y=-\left(x+y\right)\Leftrightarrow x+y=0\)
Bài 3
Áp dụng bất đẳng thức Côsi
\(x\sqrt{x}+y\sqrt{y}+z\sqrt{z}\ge3\sqrt[3]{x\sqrt{x}.y\sqrt{y}.z\sqrt{z}}=3\sqrt{xyz}\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z\)
Thay vào tính được \(A=2.2.2=8\text{ }\left(x=y=z\ne0\right).\)
Mình gợi ý để bạn được người khác giúp nhé. Khi đăng bài bạn nên đăng từng câu. Đừng đăng nhiều câu cùng lúc vì nhìn vô không ai muốn giải hết. Giờ bạn tách ra từng câu đăng lại đi. Sẽ có người giúp đấy
Ta có: \(\left(x+\sqrt{1+x^2}\right).\left(y+\sqrt{1+y^2}\right)=1\)
\(\Rightarrow\left(x-\sqrt{1+x^2}\right).\left(x+\sqrt{1+x^2}\right).\left(y+\sqrt{1+y^2}\right)=x-\sqrt{1+x^2}\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-1-x^2\right)\left(y+\sqrt{1+y^2}\right)=x-\sqrt{1+x^2}\)
\(\Leftrightarrow-y-\sqrt{1+y^2}=x-\sqrt{1+x^2}\Rightarrow x+y=\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1+y^2}\left(1\right)\)
Mặt khác: \(\left(x+\sqrt{1+x^2}\right).\left(y+\sqrt{1+y^2}\right)=1\)
\(\Rightarrow\left(x+\sqrt{1+x^2}\right).\left(y+\sqrt{1+y^2}\right)\left(y-\sqrt{1+y^2}\right)=y-\sqrt{1+y^2}\)
Rút gọn tương tự như ở trên ta được:
\(-x-\sqrt{1+x^2}=y-\sqrt{1+y^2}\Rightarrow x+y=\sqrt{1+y^2}-\sqrt{1+x^2}\left(2\right)\)
Công 2 vế (1) và (2) lai với nhau ta được:
\(2x+2y=0\Rightarrow x+y=0\)
Suy ra: x2015+y2015=(x+y).(x2014-x2013y+....-xy2013+y2014)=0.(x2014-x2013y+....-xy2013+y2014)=0
trong đề thi HSG tỉnh thanh hóa năm 2010-2011(đánh lên mạng đi,hình như là bài 5)
Bài 3 \(\hept{\begin{cases}x+y+xy=2+3\sqrt{2}\\x^2+y^2=6\end{cases}}\)
\(\hept{\begin{cases}\left(x+y\right)+xy=2+3\sqrt{2}\\\left(x+y\right)^2-2xy=6\end{cases}}\)
\(\hept{\begin{cases}S+P=2+3\sqrt{2}\left(1\right)\\S^2-2P=6\left(2\right)\end{cases}}\)
Từ (1)\(\Rightarrow P=2+3\sqrt{2}-S\)Thế P vào (2) rồi giải tiếp nhé. Mình lười lắm ^.^
Bài 1:
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(9=x+y+xy+1=(x+1)(y+1)\leq \left(\frac{x+y+2}{2}\right)^2\)
\(\Rightarrow 4\leq x+y\)
Tiếp tục áp dụng BĐT AM-GM:
\(x^3+4x\geq 4x^2; y^3+4y\geq 4y^2\)
\(\frac{x}{4}+\frac{1}{x}\geq 1; \frac{y}{4}+\frac{1}{y}\geq 1\)
\(\Rightarrow x^3+y^3+x^2+y^2+5(x+y)+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq 5(x^2+y^2)+\frac{3}{4}(x+y)+2\)
Mà:
\(5(x^2+y^2)\geq 5.\frac{(x+y)^2}{2}\geq 5.\frac{4^2}{2}=40\)
\(\frac{3}{4}(x+y)\geq \frac{3}{4}.4=3\)
\(\Rightarrow A= x^3+y^3+x^2+y^2+5(x+y)+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq 40+3+2=45\)
Vậy \(A_{\min}=45\Leftrightarrow x=y=2\)
Bài 2:
\(B=\frac{a^2}{a-1}+\frac{2b^2}{b-1}+\frac{3c^2}{c-1}\)
\(B-24=\frac{a^2}{a-1}-4+\frac{2b^2}{b-1}-8+\frac{3c^2}{c-1}-12\)
\(=\frac{a^2-4a+4}{a-1}+\frac{2(b^2-4b+4)}{b-1}+\frac{3(c^2-4c+4)}{c-1}\)
\(=\frac{(a-2)^2}{a-1}+\frac{2(b-2)^2}{b-1}+\frac{3(c-2)^2}{c-1}\geq 0, \forall a,b,c>1\)
\(\Rightarrow B\geq 24\)
Vậy \(B_{\min}=24\Leftrightarrow a=b=c=2\)
\(\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\left(y+\sqrt{1+y^2}\right)=1\)
\(\Rightarrow\left(\sqrt{1+x^2}-x\right)\left(\sqrt{1+x^2}+x\right)\left(\sqrt{1+y^2}+y\right)=\sqrt{1+x^2}-x\)
\(\Leftrightarrow\left(1+x^2-x^2\right)\left(\sqrt{1+y^2}+y\right)=\sqrt{1+x^2}-x\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{1+y^2}+y=\sqrt{1+x^2}-x\)
Làm tương tự ta lại có: \(\sqrt{1+x^2}+x=\sqrt{1+y^2}-y\)
Trừ 2 phương trình chéo vế, ta được \(2y=-2x\Leftrightarrow x=-y\)
\(A=x+y=0\)
\(B=x^{2015}+\left(-x\right)^{2015}=0\)
\(C=\left(\sqrt{1+x^2}+x\right)\left(\sqrt{1+x^2}-x\right)=1+x^2-x^2=1\)