Question

[dinh huong]

cho x,y là các số thực dương.CMR\(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}-\dfrac{3x}{y}-\dfrac{3y}{x}+4\ge0\)

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

Đặt vế trái là P

Ta có: \(P=\left(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}+2\right)-3\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)+2=\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)^2-3\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)+2\)

Đặt \(a=\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\ge2\sqrt[]{\dfrac{xy}{xy}}=2\Rightarrow a-2\ge0\)

\(\Rightarrow P=a^2-3a+2=\left(a-2\right)\left(a-1\right)\ge0\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=2\) hay \(x=y\)