Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Một bài "troll" người ta.
\(x^2+1=x^2+xy+yz+zx=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\).
Em làm tương tự rồi nhân nhau là xong đó.
\(M=\frac{\left(x^2-1\right)\left(x+1\right)+\left(y^2-1\right)\left(y+1\right)}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}=\frac{x^3+x^2-x-1+y^3+y^2-y-1}{xy+x+y+1}\)
\(=\frac{\left(x^3+y^3\right)+\left(x^2+y^2\right)-\left(x+y\right)-2}{xy+x+y+1}=\frac{\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+\left(x+y\right)^2-2xy-\left(x+y\right)-2}{xy+x+y+1}\)
\(=\frac{\left(x+y\right)\left(x+y+xy+1\right)+x^2\left(x+y\right)+y^2\left(x+y\right)-2xy\left(x+y\right)-2\left(x+y\right)-2xy-2}{xy+x+y+1}\)
\(=\frac{\left(x+y\right)\left(x+y+xy+1\right)+\left(x^2+y^2-2xy\right)\left(x+y\right)-2\left(x+y+xy+1\right)}{xy+x+y+1}\)
\(=\frac{\left(x+y-2\right)\left(x+y+xy+1\right)+\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)}{xy+x+y+1}=x+y-2+\frac{\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)}{xy+x+y+1}\)
x,y nguyên do đó để \(M\)nguyên thì \(\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\)chia hết cho \(xy+x+y+1\)
Dễ thấy \(\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\)không thể phân tích thành nhân tử \(xy+x+y+1\)nữa nên \(\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)=0\)
Suy ra:
\(\hept{\begin{cases}x-y=0\\x+y=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=y\\x=-y\end{cases}}\)
Vậy:
\(x^2y^2-1=x^2.x^2-1=x^4-1\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-1\right)\left(x^2+1\right)\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)\)chia hết cho \(\left(x+1\right)\)
Vậy ta có đpcm
Đề bài sai ngay từ giả thiết x,y,z nguyên dương.
Rõ ràng khi đó x,y,z > 0 => \(xy+yz+zx>0\)(đẳng thức không xảy ra)
Vậy đề đúng phải là x,y,z nguyên dương thỏa mãn \(xy+yz+zx=1\)
Khi đó ta giải như sau :
\(x^2+1=x^2+xy+yz+zx=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\)
\(y^2+1=y^2+xy+yz+zx=\left(y+x\right)\left(y+z\right)\)
\(z^2+1=z^2+xy+yz+zx=\left(z+x\right)\left(z+y\right)\)
\(\Rightarrow A=\left[\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\right]^2\) là bình phương của một số nguyên.
1) Từ \(x+y+z=6\) và \(x^2+y^2+z^2=12\)ta dễ dàng suy ra \(xy+yz+zx=12\)
Như vậy \(x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx\) \(\Leftrightarrow x=y=z\)
Mà \(x+y+z=6\)nên \(x=y=z=2\)thay vào Q ta tính được Q = 3.
Bài dưới mình có làm ra được 2 cách, bạn hiểu cách nào thì làm
Cách 1: Dùng phương pháp quy nạp (cách này mình cũng không biết được sử dụng trong trg hợp này ko)
-Với n=1 thì \(2^{2n}\left(2^{2n+1}-1\right)-1=2^2\left(2^3-1\right)-1=4.8-1=27\)chia hết cho 9
Vậy mệnh đề đúng với n=1
-Giả sử tồn tại số k sao cho \(2^{2k}\left(2^{2k+1}-1\right)-1\) chia hết cho 9 (giả thiết quy nạp). Do đó, \(2^{2k}\left(2^{2k+1}-1\right)\)chia 9 dư 1
Ta phải cm mệnh đề cũng đúng với k+1:
Thật vậy, \(2^{2\left(k+1\right)}\left(2^{2\left(k+1\right)+1}-1\right)-1=2^{2k+2}\left(2^{2k+3}-1\right)-1=2^{2k+4}\left(2^{2k+1}-\frac{1}{4}\right)-1\)
<=> \(2^{2k+4}\left(2^{2k+1}-1\right)+\frac{3}{4}\left(2^{2k+4}\right)-1=2^{2k}.16.\left(2^{2k+1}-1\right)+3.2^{2k+2}-1\)
Ta thấy:
\(2^{2k}\left(2^{2k+1}-1\right)\)chia 9 dư 1. Do đó, \(2^{2k}.16.\left(2^{2k+1}-1\right)\)chia 9 dư 7.
Các số có cơ số =2, số mũ lẻ thì tích của số đó với 3 khi chia 9 dư 6. Còn các số có cơ số =2, số mũ chẵn thì tích của số đó với 3 khi 9 dư 3. Vậy tích \(3.2^{2k+2}\) chia 9 dư 3
-1 chia 9 dư -1
Vậy \(2^{2k+4}\left(2^{2k+1}-1\right)+3.2^{2k+2}-1\)chia 9 dư 7+3-1=9 chia hết cho 9
Kết luận: Mệnh đề đúng với mọi n thuộc Z
2,a A+4=4+(5x^2+6x+1)/x^2=(9x^2+6x+1)/x^2=(3x+1)^2/x^2 >/ 0 với mọi x
=>A >/ -4 =>minA=-4 , đẳng thức xảy ra khi x=-1/3
2,b dễ c/m bđt : x^3+y^3 >/ (x+y)^3/4,khai triển hết ra còn 3(x-y)^2 >/ 0 ,đẳng thức xảy ra khi x=y
x^6+y^6=(x^2)^3+(y^2)^3 >/ (x^2+y^2)^3/4=1/4 ,đẳng thức xảy ra khi x=y=1/căn(2)
2,c (a^3-3ab^2)^2=a^6-6a^4b^2+9a^2b^4=5^2=25
(b^3-3a^2b)^2=b^6-6a^2b^4+9a^4b^2=10^2=100
Cộng theo vế đc a^6+b^6+3a^2b^4+3a^4b^2=(a^2+b^2)^3=25+100=125 =>S=a^2+b^2=5