Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1) Áp dụng bất đẳng thức AM - GM và bất đẳng thức Schwarz:
\(P=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{\sqrt{ab}}\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{\dfrac{a+b}{2}}\ge\dfrac{4}{a+\dfrac{a+b}{2}}=\dfrac{8}{3a+b}\ge8\).
Đẳng thức xảy ra khi a = b = \(\dfrac{1}{4}\).
2.
\(4=a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2\Rightarrow a+b\le2\sqrt{2}\)
Đồng thời \(\left(a+b\right)^2\ge a^2+b^2\Rightarrow a+b\ge2\)
\(M\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4\left(a+b+2\right)}=\dfrac{x^2}{4\left(x+2\right)}\) (với \(x=a+b\Rightarrow2\le x\le2\sqrt{2}\) )
\(M\le\dfrac{x^2}{4\left(x+2\right)}-\sqrt{2}+1+\sqrt{2}-1\)
\(M\le\dfrac{\left(2\sqrt{2}-x\right)\left(x+4-2\sqrt{2}\right)}{4\left(x+2\right)}+\sqrt{2}-1\le\sqrt{2}-1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=2\sqrt{2}\) hay \(a=b=\sqrt{2}\)
3. Chia 2 vế giả thiết cho \(x^2y^2\)
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}-\dfrac{1}{xy}\ge\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2\)
\(\Rightarrow0\le\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\le4\)
\(A=\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}-\dfrac{1}{xy}\right)=\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2\le16\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)
\(\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)\left(2^2+\frac{1}{2^2}\right)\ge\left(2x+\frac{1}{2x}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow x^2+\frac{1}{x^2}\ge\frac{4}{17}\left(2x+\frac{1}{2x}\right)^2\)Rồi tương tự các kiểu...
Suy ra \(M\ge\sqrt{\frac{4}{17}}\left[2\left(x+y\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\right]\ge\sqrt{\frac{4}{17}}\left(2.4+\frac{1}{2}.\frac{4}{x+y}\right)=\sqrt{17}\)
"=" <=> x = y = 2
Is that true?
nhân M vs 4 đc \(\frac{3x^2+\left(x-2y\right)^2+4xy}{xy}=\frac{3x}{y}+\frac{\left(x-2y\right)^2}{xy}+4\)
x-2y>=0 và x>=2y => 3x/y>=6 => 4M >=10
Vì x,y là số thực dương nên theo BĐT Cosi ta có:
\(x+y\ge2\sqrt{xy}\) Dấu "=" xảy ra <=> x=y hay x+x+x2=15 => x=y=3
GT: x+y+xy=15 => xy=15-(x+y)
Do đó: \(P=x^2+y^2=\left(x+y\right)^2-2xy=\left(x+y\right)^2-30+2\left(x+y\right)\ge\left(2\sqrt{xy}\right)^2-30+2\cdot2\sqrt{xy}\)
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=3
Vậy \(min_P=4\cdot3^2-30+4\cdot3=18\Leftrightarrow x=y=3\)
Mình gợi ý để bạn được người khác giúp nhé. Khi đăng bài bạn nên đăng từng câu. Đừng đăng nhiều câu cùng lúc vì nhìn vô không ai muốn giải hết. Giờ bạn tách ra từng câu đăng lại đi. Sẽ có người giúp đấy
ta có x>=2y suy ra x-2y>=0
m=x^2/xy+y^2/xy điều kiện x,y khác 0
M=x/y+y/x
2M=2x/y+2y/x
2M=2.x/y+(-x+2y+x)/x
2m=2.(x-2y)/y+2.2y/x-(x-2y)/x+x/x
2m=2(x-2y)/y-(x-2y)/x+5
vì x-2y>=0=>2(x-2y)/y-(x-2y)/x+5>=5
2M>=5
2M>5/2
vậy M=5/2
chưa chắc đã đúg đôu đúg tk mk nha
Đặt \(\frac{x}{y}=a\)
Vì \(x\ge2y>0\Rightarrow a\ge2\)
Khi đó \(P=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=a+\frac{1}{a}=\left(\frac{1}{a}+\frac{a}{4}\right)+\frac{3a}{4}\ge2\sqrt{\frac{1}{a}.\frac{a}{4}}+\frac{3a}{4}\ge1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}\)
Dấu " \(=\)" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=2\Leftrightarrow x=2y>0\)