Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(F=\frac{x^4}{x^2\sqrt{y}}+\frac{y^4}{y^2\sqrt{x}}\geq \frac{(x^2+y^2)^2}{x^2\sqrt{y}+y^2\sqrt{x}}=\frac{4}{y^2\sqrt{x}+x^2\sqrt{y}}\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky kết hợp AM-GM:
$(y^2\sqrt{x}+x^2\sqrt{y})^2\leq (y^2+x^2)(y^2x+x^2y)=2xy(x+y)$
$\leq (x^2+y^2)\sqrt{2(x^2+y^2)}=2\sqrt{2.2}=4$
$\Rightarrow y^2\sqrt{x}+x^2\sqrt{y}\leq 2$
$\Rightarrow F\geq \frac{4}{y^2\sqrt{x}+x^2\sqrt{x}}\geq \frac{4}{2}=2$
Vậy $F_{\min}=2$. Giá trị này đạt tại $x=y=1$
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(F=\frac{x^4}{x^2\sqrt{y}}+\frac{y^4}{y^2\sqrt{x}}\geq \frac{(x^2+y^2)^2}{x^2\sqrt{y}+y^2\sqrt{x}}=\frac{4}{y^2\sqrt{x}+x^2\sqrt{y}}\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky kết hợp AM-GM:
$(y^2\sqrt{x}+x^2\sqrt{y})^2\leq (y^2+x^2)(y^2x+x^2y)=2xy(x+y)$
$\leq (x^2+y^2)\sqrt{2(x^2+y^2)}=2\sqrt{2.2}=4$
$\Rightarrow y^2\sqrt{x}+x^2\sqrt{y}\leq 2$
$\Rightarrow F\geq \frac{4}{y^2\sqrt{x}+x^2\sqrt{x}}\geq \frac{4}{2}=2$
Vậy $F_{\min}=2$. Giá trị này đạt tại $x=y=1$
Lời giải:
\(M=x^2y^2(x^2+y^2)=xy.xy(x^2+y^2)\)
\(\Leftrightarrow M=\frac{xy}{2}.2xy(x^2+y^2)\)
Áp dụng BĐT Cô-si ngược dấu:
\(2xy(x^2+y^2)\leq \left(\frac{2xy+x^2+y^2}{2}\right)^2=\left(\frac{(x+y)^2}{2}\right)^2=\frac{(x+y)^4}{4}=\frac{2^4}{4}=4\)
\(xy\leq \left(\frac{x+y}{2}\right)^2=\left(\frac{2}{2}\right)^2=1\)
Do đó: \(M=\frac{xy}{2}.2xy(x^2+y^2)\leq \frac{1}{2}.4=2\)
Vậy \(M_{\max}=2\Leftrightarrow x=y=1\)
\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=1+2\left(ab+bc+ca\right).\)
\(\Rightarrow A=\left(ab+bc+ca\right)=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)^2-\frac{1}{2}\ge-\frac{1}{2}\)với mọi a,b,c
Vậy A nhỏ nhất bằng -1/2 khi a+b+c =0
Ta có : \((x-\dfrac{1}{3})^2+(y-\dfrac{1}{3})^2+(z-\dfrac{1}{3})^2>=0\)
\(=>x^2+y^2+z^2-\dfrac{2}{3}(x+y+z)+\dfrac{1}{3}\ge0\)
\(=>x^2+y^2+z^2+\dfrac{1}{3}\ge\dfrac{2}{3}(x+y+z)\)
\(=>1+\dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{3}\ge\dfrac{2}{3}(x+y+z)\)
\(=>x+y+z\le2\)
Do đó : \((a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=1+2(ab+bc+ca).\)
\(=>A=(ab+ac+bc)=\dfrac{1}{2}(a+b+c)^2-\dfrac{1}{2}\le\dfrac{1}{2}.2^2-\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}\)
Ta dự đoán dấu = xảy ra khi x=y từ gt ta sẽ đoán ra \(2x^2=2x+x^2\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=y=0\\x=y=2\end{matrix}\right.\) Từ đó ta sẽ cần cm Min=0, Max=4
Ta có: \(x+y=x^2+y^2-xy\ge x^2+y^2-\frac{x^2+y^2}{2}=\frac{x^2+y^2}{2}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\Leftrightarrow4\ge x+y\)Vì x+y đạt max khi x,y đạt max hay x,y dương , ở trên ta áp dụng 2 bổ đề khá quen thuộc là \(a^2+b^2\ge2ab,a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\)
Không mất tỉnh tổng quát giả sử \(x\le y\) ta có:
\(x^2+y^2=x+y+xy\le x+y+y^2\)
\(\Leftrightarrow S\ge x^2\ge0\)
Ta có:
\(S=\dfrac{\left(x+y\right)^2}{x^2+y^2}+\dfrac{\left(x+y\right)^2}{xy}=1+\dfrac{2xy}{x^2+y^2}+2+\dfrac{x^2+y^2}{xy}\)
\(=3+\left(\dfrac{2xy}{x^2+y^2}+\dfrac{x^2+y^2}{2xy}\right)+\dfrac{x^2+y^2}{2xy}\)
\(\ge3+2+\dfrac{2xy}{2xy}=5+1=6\)
Vậy GTNN là S = 6 khi x = y
ế, m làm giống cô giáo t đó,nhưng của m làm sơ sài lắm
:((
chỗ đằng trên tất nhiên là t hiểu,nhưng phần về = 3 + j j ý,m làm khác cô giáo t hướng dẫn.
Công thức tổng quát đây mà: a + b = 2căn(ab)
chiều nay t được giải đáp rồi,biết làm rồi,nhưng cách của m có vẻ khác khác đó:))