Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(M=\sqrt{3}xy+y^2=\frac{1}{2}\left(x^2+2\sqrt{3}xy+3y^2\right)-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}y^2\)
\(=\frac{1}{2}\left(x+\sqrt{3}y\right)^2-\frac{1}{2}\ge-\frac{1}{2}\).
Nên GTNN của M là \(-\frac{1}{2}\) đạt được khi \(x=-\sqrt{3}y\Rightarrow x^2=3y^2\Rightarrow4y^2=1\Rightarrow y=\pm\frac{1}{2}\)
+,Với \(y=\frac{1}{2}\Rightarrow x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
+,Với \(y=-\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
Ta lại có:\(M=\sqrt{3}xy+y^2\le\frac{3x^2+y^2}{2}+y^2=\frac{3x^2+3y^2}{2}=\frac{3}{2}\)
Nên GTLN của M là \(\frac{3}{2}\) đạt được khi \(\sqrt{3}x=y\Rightarrow3x^2=y^2\Rightarrow4x^2=1\Rightarrow x=\pm\frac{1}{2}\)
+,Với \(x=\frac{1}{2}\Rightarrow y=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
+,Với \(x=-\frac{1}{2}\Rightarrow y=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
M=3xy+y2=21(x2+23xy+3y2)−21x2−21y2
=\frac{1}{2}\left(x+\sqrt{3}y\right)^2-\frac{1}{2}\ge-\frac{1}{2}=21(x+3y)2−21≥−21.
Nên GTNN của M là -\frac{1}{2}−21 đạt được khi x=-\sqrt{3}y\Rightarrow x^2=3y^2\Rightarrow4y^2=1\Rightarrow y=\pm\frac{1}{2}x=−3y⇒x2=3y2⇒4y2=1⇒y=±21
+,Với y=\frac{1}{2}\Rightarrow x=-\frac{\sqrt{3}}{2}y=21⇒x=−23
+,Với y=-\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{\sqrt{3}}{2}y=−21⇒x=23
Ta lại có:M=\sqrt{3}xy+y^2\le\frac{3x^2+y^2}{2}+y^2=\frac{3x^2+3y^2}{2}=\frac{3}{2}M=3xy+y2≤23x2+y2+y2=23x2+3y2=23
Nên GTLN của M là \frac{3}{2}23 đạt được khi \sqrt{3}x=y\Rightarrow3x^2=y^2\Rightarrow4x^2=1\Rightarrow x=\pm\frac{1}{2}3x=y⇒3x2=y2⇒4x2=1⇒x=±21
+,Với x=\frac{1}{2}\Rightarrow y=\frac{\sqrt{3}}{2}x=21⇒y=23
+,Với x=-\frac{1}{2}\Rightarrow y=-\frac{\sqrt{3}}{2}x=−21⇒y=−23
\(x^3+y^3+xy=x^2+y^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y-1\right)\left(x^2-xy+y^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x+y=1\\x^2-xy+y^2=0\end{cases}}\)
- \(x^2-xy+y^2=0\Rightarrow x=y=0\Rightarrow P=\frac{5}{2}\).
- \(x+y=1\Rightarrow0\le x,y\le1\).
\(P=\frac{1+\sqrt{x}}{2+\sqrt{y}}+\frac{2+\sqrt{x}}{1+\sqrt{y}}\ge\frac{1}{2+\sqrt{y}}+\frac{2}{1+\sqrt{y}}\ge\frac{1}{2+1}+\frac{2}{1+1}=\frac{4}{3}\)
Dấu \(=\)xảy ra tại \(x=0,y=1\).
\(P=\frac{1+\sqrt{x}}{2+\sqrt{y}}+\frac{2+\sqrt{x}}{1+\sqrt{y}}\le\frac{1+\sqrt{x}}{2}+\frac{2+\sqrt{x}}{1}\le\frac{1+1}{2}+\frac{2+1}{1}=4\)
Dấu \(=\)xảy ra tại \(x=1,y=0\).
Ta co:
\(9=x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\Rightarrow-3\sqrt{2}\le x+y\le3\sqrt{2}\)
Dat \(\hept{\begin{cases}a=x+y\\b=xy\end{cases}\left(a\ne-3,-3\sqrt{2}\le a\le3\sqrt{2}\right)}\)
\(\Rightarrow a^2-2b=9\Leftrightarrow\frac{a^2}{2}-\frac{9}{2}=b\)
\(\Rightarrow Q=\frac{b}{a+3}=\frac{a^2-9}{2a+6}=\frac{a-3}{2}=\frac{x+y-3}{2}\)
Xet \(0\le x+y\le3\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow Q=\frac{x+y-3}{2}\le\frac{\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}-3}{2}=\frac{3\sqrt{2}-3}{2}\)
Dau '=' xay ra khi \(x=y=\frac{3}{\sqrt{2}}\)
Xet \(-3\sqrt{2}\le x+y< 0\)
\(\Rightarrow Q=\frac{x+y-3}{2}\ge\frac{-3\sqrt{2}-3}{2}\)
Dau '=' xay ra khi \(x=y=-\frac{3}{\sqrt{2}}\)
Ta có :(a+b-c)2 \(\ge\) 0
<=>a2+b2+c2 \(\ge\) 2(bc-ab+ac)
<=>\(\frac{5}{3}\ge\) 2(bc-ab+ac)
<=>bc+ac-ab \(\le\frac{5}{6}< 1\)
<=>\(\frac{bc+ac-ab}{abc}< \frac{1}{abc}\) (vì a,b,c>0 nên chia cả 2 vế cho abc)
<=>\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}< 1\) (đpcm)
Ta có \(x^2+y^2\ge2xy\)=>\(xy\le\frac{1}{2}\)
\(\frac{1}{A}=\frac{1}{-2xy}-\frac{1}{2}\le-1-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}\)
=> \(A\ge-\frac{2}{3}\)
\(MinA=-\frac{2}{3}\)khi \(x=y=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
Trần Phúc Khang: bài này cần gì phải làm phức tạp vậy a
c/m: \(xy\le\frac{1}{2}\)( như bài Trần Phúc Khang)
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(A=\frac{-2xy}{1+xy}\ge\frac{-2.\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}}=-\frac{1}{\frac{3}{2}}=-\frac{2}{3}\)
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
KL:.............................
\(A=\frac{2x^3+2y^3+2}{2xy+2}=\frac{x^3+x^3+1+y^3+y^3+1}{2xy+2}\ge\frac{3\sqrt[3]{x^6}+3\sqrt[3]{y^6}}{x^2+y^2+2}=\frac{3.2}{2+2}=\frac{3}{2}\)
\(A_{min}=2\) khi \(x=y=1\)
Lại có \(\left\{{}\begin{matrix}x;y\ge0\\x^2+y^2=2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow0\le x;y\le\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow x^2\left(x-\sqrt{2}\right)\le0\Rightarrow x^3\le x^2\sqrt{2}\)
Tương tự: \(y^3\le y^2\sqrt{2}\)
Mặt khác \(x;y\ge0\Rightarrow xy+1\ge1\)
\(\Rightarrow A\le\frac{a^2\sqrt{2}+b^2\sqrt{2}+1}{1}=1+2\sqrt{2}\)
\(A_{max}=1+2\sqrt{2}\) khi \(\left(a;b\right)=\left(0;\sqrt{2}\right)\) và hoán vị