Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(P=x^2y^2+1+1+\frac{1}{x^2y^2}=x^2y^2+2+\frac{1}{256x^2y^2}+\frac{255}{256x^2y^2}\)
\(\ge x^2y^2+\frac{1}{256x^2y^2}+2+\frac{255}{256.\left[\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\right]^2}\ge2\sqrt{x^2y^2.\frac{1}{256x^2y^2}}+2+\frac{255}{256.\frac{1}{16}}\)
\(=\frac{1}{8}+2+\frac{255}{16}=\frac{289}{16}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
\(A\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}+\frac{9}{x+y+z}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}+\frac{9}{8\left(x+y+z\right)}+\frac{9}{8\left(x+y+z\right)}+\frac{27}{4\left(x+y+z\right)}\)
\(A\ge3\sqrt[3]{\frac{81\left(x+y+z\right)^2}{3.64\left(x+y+z\right)\left(x+y+z\right)}}+\frac{27}{4.\frac{3}{2}}=\frac{27}{4}\)
\(A_{min}=\frac{27}{4}\) khi \(x=y=z=\frac{1}{2}\)
Ta có : \(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}=\frac{2^2}{2}=2\)
\(\Rightarrow4\left(x^2+y^2\right)\ge8\)
Lại có : \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\Rightarrow\frac{1}{xy}\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}=\frac{4}{2^2}=1\)
Do đó : \(P=4\left(x^2+y^2\right)+\frac{1}{xy}\ge8+1=9\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=1\)
\(x,y,z\ge1\)nên ta có bổ đề: \(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}\ge\frac{2}{ab+1}\)
ÁP dụng: \(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}+\frac{1}{1+\sqrt[3]{xyz}}\ge\frac{2}{1+\sqrt{xy}}+\frac{2}{1+\sqrt{\sqrt[3]{xyz^4}}}\)
\(\ge\frac{4}{1+\sqrt[4]{\sqrt[3]{x^4y^4z^4}}}=\frac{4}{1+\sqrt[3]{xyz}}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\ge\frac{3}{1+\sqrt[3]{xyz}}\)
Dấu = xảy ra \(x=y=z\)hoặc x=y,xz=1 và các hoán vị
trc giờ mấy bài này tui toàn quy đồng thôi, may có cách này =))
Ta có:
\(A=\left(x^2+\frac{1}{8x}+\frac{1}{8x}\right)+\left(y^2+\frac{1}{8y}+\frac{1}{8y}\right)+\left(z^2+\frac{1}{8z}+\frac{1}{8z}\right)+\frac{6}{8}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
\(\ge3\sqrt[3]{x^2.\frac{1}{8x}.\frac{1}{8x}}+3\sqrt[3]{y^2.\frac{1}{8y}.\frac{1}{8y}}+3\sqrt[3]{z^2.\frac{1}{8z}.\frac{1}{8z}}+\frac{6}{8}\frac{9}{x+y+z}\)
\(=\frac{3}{4}+\frac{3}{4}+\frac{3}{4}+\frac{6}{8}.\frac{9}{\frac{3}{2}}=\frac{27}{4}\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 1/2
Vậy min A = 27/4 tại x = y = z = 1/2
\(P=x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge x+y+\frac{4}{x+y}\)
\(P\ge x+y+\frac{2}{x+y}+\frac{2}{x+y}\ge2\sqrt{\frac{2\left(x+y\right)}{x+y}}+\frac{2}{\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}}=3\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
fsjkdhwejhfj
\(\frac{2}{x+y}\ge\frac{2}{\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}}\); ko phải \(\frac{2}{x+y}=\frac{2}{\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}}\)
Nó xuất phát từ \(2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\)
Số thực bất kì thì biểu thức này không tồn tại min
Số thực dương mới tồn tại min:
Ví dụ: cho \(x=-0.00001\) và \(y=\sqrt{1-x^2}\) và bấm máy bạn sẽ thấy vấn đề của "số thực"
Với số thực dương:
\(P=x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge x+y+\frac{4}{x+y}\)
\(P\ge x+y+\frac{2}{x+y}+\frac{2}{x+y}\ge2\sqrt{\frac{2\left(x+y\right)}{x+y}}+\frac{2}{\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}}=2\sqrt{2}+\frac{2}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
ápdụng bdt bunhia dạng phân thức ta có
M=\(\frac{1}{1+x}\)+\(\frac{1}{1+y}\)≥\(\frac{\left(1+1\right)^2}{1+x+1+y}\)=\(\frac{4}{2+x+y}\)
áp dụng bđt bunhia dạng đa thức ta có
(x+y)2≤(1+1)(x2+y2)=2(x2+y2)≤2.2=4
⇒x+y≤2
⇒M≥\(\frac{4}{2+2}\)=1 vậy GTNN M =1 khi x=y=1